五非线性方程的解法.ppt

第五章 非线性方程的解法;§5-1 二分法 ;二分法的计算步骤： 用区间(a,b)的中点 平分区间(a,b)为两个区间，计算中点的函数值 ,根据 的值分以下两种情况： 1. ε，ε 是预先给定的精度要求，那 么， 就是所求的根.此时，计算过程终止. 2. ≥ε,根据 的符号形成新的有根区间 .当 0,取a1= ,b1=b; 当 0;取 .这时 , 是新的有根区间，落在(a,b)内.新的有根区间是原来长度的一半，即 ,用 代替(a,b)再继续上述过程，此过程一直进行下去，直到出现第一种情况时过程中断. ; 记第n次过程得到的有根区间为 ,且满足 即每一个区间落在前一个区间内，且最后一个区间的长度为 是原区间(a,b)长度的 倍.显然 (n→∞) 所以当n充分大时，取最后一个区间的中点 作为方程 的根 的近似值，且有误差估计 .;例1：用二分法求方程 在区间(2,3)之间的根. 解：因f(2) = -1 0 ,f(3) = 16 0,所以(2,3)是f(x)的有根区间，将(2,3)对分成两个小区间 [ 2 , 2.5 ],[ 2.5 , 3 ] 并计算f( 2.5 ) =5.625,[ 2 , 2.5 ]是方程新的有根区间，再把[ 2 , 2.5 ]对分成 [ 2 , 2.25 ],[ 2.25 ,2.5 ] 计算f(2.25) = 1.8906254, [ 2 , 2.25 ]是方程新的有根区间，如此继续下去，具体过程如下表. ;;;§5-2 迭代法 ;; 由计算看出，选取的两个迭代函数 和 分别构造的序列 的收敛情况不一样（初始值都取为1.0），在 种情况下 收敛，且 .在 种情况下 无定义. 因此，对于用迭代法求方程 近似根需要研究下述问题： （1）如何选取迭代函数 使迭代过程 收敛。 （2）若 收敛较慢时，怎样加速 收敛。;二、迭代法的几何意义;定理1 设有方程 （1）设 于[a,b]一阶导数存在； （2）当 时，有 （见图5-4） （3） 满足条件： ，当 . 则 （1） 在[a,b]上有惟一解 ， （2）对任意选取的初始值 ，迭代过程 收敛，即 ； （3） （4）误差估计 ;定理2（迭代法的局部收敛性） 设给定方程 ， （1）设 为方程的解； （2）设 在 的邻近连续可微，且有 (根据 在 邻近连续性，此条件即为存在 一个邻域 使 ，当 时成立).则对任意取初值 ，迭代过程 收敛于 （称迭代过程具有局部收敛性）. 证明 取[a,b]=[ ],于是只要验证定理1中的条件（2）成立，定理2即得证. 事实上，设 ,则 其中， 说明 . ;例2：试用迭代法解方程： 解： （1）显然有（见图） 及 即知：方程于[0,2]及[-1.9,-1]内有根， 记为 及 （见图）.