三不定积分的概念和性质.pptVIP

（一） 原函数与不定积分的概念 问题: 定义 2. 不定积分的几何意义: 例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 例2. 质点在距地面 先求 （三）基本积分表 例3. 求 （四）简单的积分法则 例5. 求 例6. 求 例8. 求 课堂练习：求下列积分: * * 第三章 积分 引例: 一个质量为 m 的质点, 下沿直线运动 , 因此问题转化为: 已知 求 在变力 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 如引例中, 的原函数有 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 定理2 设 是 在区间I上的一个原函数,则 (i) 是 在区间I上的原函数,其中C为任意常数; (ii) 在I上的任两个原函数相差一个常数. 证: (i) 因为 是 在I上的原函数,所以 进而 即 是 在区间I上的原函数. (ii) 设 是 在区间I上的原函数, 则有 故 注：若一个函数有原函数,则其原函数不唯一,且任两个原函数 相差一个常数. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 记作 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有 因此所求曲线为 处以初速 力, 求它的运动规律. 解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则 (运动速度) (加速度) 垂直上抛 , 不计阻 先由此求 再由此求 由 知 再求 于是所求运动规律为 由 知 故 （二）不定积分与微分的关系 或 或 特别地 若 则 ( C 为任意常数 ) 利用逆向思维 ( k 为常数) ( C 为任意常数 ) 或 或 解: 原式 = 例4. 求 解: 原式= 推论: 若 则 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 解: 原式 = 解: 原式 = 例7. 求 解: 原式 = 解: 原式 =