一类二维动力系统的稳定性及分叉分析.docx

第33卷第4期中南民族大学学报( 自然科学版)Vol．33No．42014 年 12月JournalofSouth-CentralUniversityforNationalities(Nat．Sci．Edition)Dec．2014一类二维动力系统的稳定性及分叉分析胡军浩，晏磊( 中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)摘要考虑一类由二阶二次差分方程简化而成的二维动力系统，运用Jury条件和稳定性理论研究其动力学行 为，分析该系统两个不动点的局部稳定性及其分叉现象，利用数值模拟验证了结果的正确性．最后，应用中心流形定理确定系统不动点在发生Flip分叉时的临界稳定性．关键词 动力系统; 稳定性; Jury 条件; 分叉;中心流形定理中图分类号 O192 文献标识码 A 文章编号 1672-4321( 2014)04-0105-05Stability and Bifurcation Analysis of a ClassofTwo-Dimensional DynamicalSystemsHu Junhao，YanLei(CollegeofMathematicsandStatistics，South-CentralUniversityforNationalities，Wuhan430074，China)AbstractInthispaper，weconsideraclassoftwo-dimensionaldynamicalsystemwhichissimplifiedfromthesecondorderquadraticdifferentialequation，usetheJuryconditionandstabilitytheorytostudythedynamicalbehavior，analyzethelocalstabilityofthetwodifferentfixedpointsandtheirbifurcationphenomenon，andthenwehaveverifiedtheresultsbynumericalsimulations．Finally，weresearchthecriticalstabilityofthefixedpointsatflipbifurcationwithcentermanifoldtheorem．Keywords dynamical systems; stability; Jury condition; bifurcation; center manifold theorem映射动力系统具有比常微分方程系统更复杂的 动力学性质，例如，一维Logistics映射就可产生混沌现象，而三维自治常微分系统才能产生混沌［1，2］．在 经济学和生物学中，许多数学模型可以用可化为叠映射的动力系统来表示，而其中一大类模型均可利1模型重述考虑如下二阶二次差分方程2ij i－jxn+1=∑∑aj，i－jxnxn－1．用具有参数零化的不完整结构形式的二阶二次差分i=0j=0n方程来描述［2-5］．文献［2］基于一定的假设对二阶二 次差分方程进行简化，应用二维连续不可逆映射系当a00 =0，a01 ≠0，a10 ≠0，a02 ≠0，a20 ≠0，x= xn ，y = xn－1 时，可以将其简化为:统的关键集理论重点探讨一类二阶二次差分方程的全局动力学性质．本文将在文献［2］的基础上，运用xn+1=a10?1+a11a10xn－1+a20xa10?xn+动力学理论，重点探讨一类二维动力系统的局部稳定性与分叉性质，揭示系统的局部动力学行为，为系a11a01?1+a20a02a01a02xn－1?xn－1．统在特定参数取值下混沌行为存在性的证明打下基础．令a10=a10=a01=－1，x=xn，y =xn－1，可以收稿日期2014-10-13作者简介胡军浩(1974-)，男，副教授，研究方向:微分方程稳定性理论与应用，E-mail:junhaohu74@163．com基金项目 国家自然科学基金资助项目106中南民族大学学报(自然科学版)第33卷简化为如下的一个二维不可逆的映射系统［2］:?T: x=a10x(1－x－y)+a01y(1－y)，y=x．2不动点的稳定性与分叉生Flip分叉，即有定理1中的(3);当 1 － f( 0) = 1 + a = 0 且 Δ = a2 + 4a ＜0212时，系统( 1) 存在单位圆上的一对共轭复根，在E0处产生 Neimark-Sacker 分叉，即有定理 1 中的( 4)．定理2(E1 的局部稳定性)a22 － a2 + 4a1 － a1a2考虑文献［2］中提出的