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1.4 数据的有效数字和舍入规则 数据的误差及其表述方法 数据的有效数字 数字的舍入规则 数字运算规则 * §数据的误差及其表述方法 测 量 误 差 通过测量手段获得的数据总包含有一定的测量误差，通常测量误差是数据误差的主要成分。 间接测量误差：是因为直接测量获得的参数本身具有测量误差。 * 此外，在随机数据处理中，子样参数代替总体参数，有偏估计代替无偏估计等也会引入这类误差。因此,在数据处理中数学模型和寻找数据处理方法时，应考虑到数据的精度要求。 按某一近似关系处理数据 数据处理误差 y=f(x) y=ax * 数字计算误差 舍入误差：位数较多的小数、无理数等，根据需要截取其一定位数，使所得数据有误差 表述方法： 给出数据的精度参数标准差、扩展不确定度 或某些特定的约定 以有效数字的形式表示数据的精度常采用规 定“有效数字”位数的方法来表达。 * §数据的有效数字 有效数字：若数据的最末一位有半个单位以内的误差，而其它数字都是准确的，则各位数字都是“有效数字”。一般，为确切表述数据的精度，给出的数据只应保留有效数字。 对于小数，第一个非零有效数字前面的零不是有效数字。如： 0.0023有效数字为最后两位。 数据末尾的一个或数个零应为有效数字。如1450 有效数字应为4位，0.460有效数字为3位 * 数据的有效数字 数字末尾的零的含义有时并不清楚，此时往往采用10的方次表示。如：12 000m表示为 有效数字为2位，若写成 有效数字为3 位。 记录数据时数据的位数应适当。 对于给出不确定度的数据，其不确定度的数字取一到二位。数据的最末一位取到与不确定度末位同一量级。 对于一般的数据，应按有效数字取舍数据的位数。 * §数字的舍入规则 若舍去部分的数值小于保留数字末位的0.5个单位，则舍去多余数字后保留数字不变。 若舍去部分的数值大于保留数字末位的0.5个单位，则舍去多余数字后，保留数字的末位加1。 若舍去部分的数值正好等于保留数字末位的0.5个单位，则在舍去多余数字后，保留数字的末位凑成偶数，即当保留数字末位为偶数时不变，当末位数字为奇数时，末位加1。 “四舍六入五凑双” * 数据舍入实例 将3.14159分别取3、4位有效数字？ 答：根据规则一、规则二，舍入后的有效数字分别为3.14和3.142。 2.55（保留二位有效数字）2.6 2.65（保留二位有效数字）2.6 按以上规则舍入数字，可保证数据的舍入误差最小，在数据运算中不会造成舍入误差的迅速累积。 但对于表示精度的数据（标准差、扩展不确定度等），在去掉多余位数时，只入不舍。 * §数字的运算规则 数据加减运算中，所得运算结果（和或差）的小数点后保留的位数，应与参与加减运算的各数据中小数点后位数最少的那一数据的位数相同。 例：4.286＋1.32－0.4563＝5.1497（5.15） 数据乘除运算时，参与运算的各数据中有效数字位数最少的数据的相对误差最大，运算结果的有效数字位数应与这一数据的有效数字位数相同。 例：462.8×0.64÷1.22＝242.78033（2.4×102） 为尽力减小数字舍入带来的误差，参与运算的各数据可多保留一位数字。 * 数据经乘方与开方运算，所得结果的有效数字位数与该数据的位数相同。 例：3.252＝10.5625（10.6） 对数计算中，所取对数应与真数有效数字位数相同。 例：lg32.8＝1.51587…（1.52） 运算的中间结果的数字可多保留1~2位，以便减小舍入误差的影响。 * 运算中，计数数据的有效位数时，对于常数π、e、 及其他无误差的数值，其有效数字的位数可认为是无限的，在计算中需要几位就取几位。 例：1/2=0.5000… 其有效数字可任意取用 运算中，计数数据的有效位数时，若第一位有效数字等于或大于8，则其有效数字的位数可多计一位。 例：8.5×1.38×0.267＝3.13191（3.13） * * * 误差理论与数据处理 信息学院 宋 佳 songjia2000@126.com * * 本课程成绩根据平时成绩和期末考试成绩综合评定，分别占20％和80％。 一、平时成绩部分： 包括出勤考核和作业情况，占总考核成绩的20％，其中每缺一次扣掉2分。 二、试卷考试部分： 闭卷考试，时间120分钟，满分100分，占总成绩的80％。 说明： 第一章 绪 论 1.1测量的基本概念 1.2测量误差的基本概念 1.3精度 1.4数据的有效数字与数据