第四讲：常微分方程(.doc

第四讲：常微分方程 （一）一阶微分方程 1. 知识范围 （1）微分方程的概念：微分方程的定义 阶 解 通解 初始条件 特解 （2）可分离变量的方程 （3）一阶线性方程 2. 要求 （1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。 （2）掌握可分离变量方程的解法。 （3）掌握一阶线性方程的解法。 （二）可降价方程 1. 知识范围 （1）y（n）= ?（x）型方程 （2）y″= ?（x，y′）型方程 2. 要求 （1）会用降价法解（1）y（n）= ?（x）型方程 （2）会用降价法解y″= ?（x，y′）型方程 （三）二阶线性微分方程 1. 知识范围 （1）二阶线性微分方程解的结构 （2）二阶常系数齐次线性微分方程 （3）二阶常系数非齐次线性微分方程 2. 要求 （1）了解二阶线性微分方程解的结构。 （2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 （3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为?（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）为x的n次多项式。α为实常数；?（x）eax（Acosβx + Bsinβx），其中α、β、A、B为实常数）。 知识点讲授 一、一阶微分方程 （一）介绍有关概念： （1）凡含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程． 若未知函数只含有一个自变量，这样的微分方程称为常微分方程； （2）微分方程的阶： 微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶． （3）微分方程的解： 在研究实际问题时，首先建立微分方程，然后设法找出满足微分方程的函数，也就是说，要找到这样的函数，将其代入微分方程后，能使该方程成为恒等式，这个函数叫做微分方程的解．求微分方程解的过程，叫做解微分方程． （4）微分方程的通解： 如果微分方程的解中包含有任意常数，并且独立的（即不可合并而使个数减少）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． （5）微分方程的特解： 通解中任意常数取某一特定值时，所得到的解称为微分方程的特解．确定通解中任意常数的附加条件叫微分方程的初值条件．该特解又叫满足初值条件的特解． （6）形如 （1）的微分方程称为一阶线性微分方程， 其中，都是自变量的已知函数，称为自由项． 所谓“线性”指的是，方程中关于未知函数及其导数都是一次式． 当时，称方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程； 当时，方程（1）变为． （2） 称方程（2）为方程（1）所对应的一阶线性齐次微分方程． （二）一阶微分方程类型与解法 方程类型 方 程 解 法 可分离变量的微分方程 分离变量，两边积分 齐次微分方程 将原方程化为方程的形式； 令，则，得到，代入方程，分离变量，两边积分； 求出积分后再以回代。 一阶线性微分方 程 齐次方程 分离变量，两边积分 或用公式 非齐次 方程 （1）求出对应的线性齐次微分方程的通解； （2）常数变易法或公式法 例1 求微分方程的通解． 解 将所给方程分离变量，得， 两端积分，有， 积分后，得， 从而有即， 由于仍是任意常数，把它记作．于是所给方程的通解为． 例2 求微分方程的通解． 解 将所给方程分离变量，得， 两端积分，有， 积分后，得， 即有． 例3 求微分方程满足初值条件的特解． 解 先求方程的通解．将所给方程分离变量，得 ． 等式两端分别积分，有， 积分后，得． 从而有． 下面再来求满足所给初值条件的特解，把初值条件代入上面的通解中，得，即．于是，所求特解为． 例4 求微分方程的通解． 解 将原方程化为， 令，则，，将它们代入上面的方程，原方程化为 ， 即． 分离变量，得， 两端积分，得， 解得，即． 将代入上式，得所给方程通解为． 例5 求微分方程满足初值条件的特解． 解 先求所给方程的通解．将原方程改写为 ． 令，则，．将它们代入上面的方程，原方程可化为 ， 即， 分离变量后得． 两端积分，得，得， 即．用代入上式，便得所给方程的通解为． 为了求出满足所给初值条件的特解，再把初值条件代入通解中，得 ， 故得所求的特解为．或． 求线性非齐次微分方程的通解？【常数变易法】． 方法一【常数变易法】． (1) 求出对应的线性齐次微分方程（2）的通解； (2) 用常数变易法或用公式求方程（1）的通解． 先求线性非齐次微分方程（1）所对应的线性齐次微分方程（2）的通解． 分离变量，得， 两端积分，并把任意常数写成的形式，得， 化简后即得线性齐次微分方程的通解为 其中是任意常数． 再设是方程（1）的解：． 将及 代入方程（1），， 整理，得， 两边积分，得． 则 是方程的通解． 方法二【