第二章2 极限的计算、两个重要极限.ppt

4. 试确定常数 a 使 解 : 令 则 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 备用题 设 解: 利用前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：P51 9 (4) (11) (14); 15 (4) (5); 16 (2) (7); * 运行时, 点击“解答见课件第二节例5”, 或“机动” 按钮 , 可显示解题过程 * 运行时, 点击“注”, 或按钮“注”, 运行计算该极限的过程, 运行结束自动返回. * * * 若不讲“柯西准则”, 则点击“内容小结”按钮, 继续其它内容 第二章 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限的计算、两个重要极限 时, 有 一、 极限的运算性质 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限的四则运算法则 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论: 若 且 则 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 4 . 若 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小 (详见P44) 定理 5 . 若 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6 . 若 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、计算极限的例题 x = 3 时分母为 0 ! 例1. 设有分式函数 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例2. 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓住主要部分” 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果： 为非负常数 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数的极限运算法则 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 证: 当 时, 有 当 时, 有 对上述 取 则当 时 故 ① 因此①式成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设 且 x 满足 时, 又 则有 说明: 若定理中 则类似可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 令 已知 ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 . 求 解: 方法 1 则 令 ∴ 原式 方法 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积 三、 两个重要极限 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 注 例1. 求 解: 例2. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.