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第一章 第三节 第三节 函数的极限 教学内容 1 自变量趋于有限值时函数的极限 2 自变量趋于无穷大时函数的极限 3 函数极限的性质 教学重点 函数极限的定义及用其证明简单极限 本节考研要求 1 理解函数极限的概念，并用其证明简单极限问题； 2 了解函数极限的性质。 一 函数极限的定义 2 自变量趋于无穷大时函数的极限 函数极限的性质 四、小结 * 在自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 １自变量趋于有限值时函数的极限 1、定义： 注1. 与数列极限定义比较: 将“ xn=f (n)”换成f (x), 将“ N”换成“ ? 0”, 将“ nN” 换成 “ 0|x?x0|? ”. 　　这是因为在数列极限中. n??. 而“ nN” 表示了n充分大这一意思. 　　而现在 x? x0, “ 0|x?x0|? ” 表示了这一意思. 2、几何解释: 注意： 例1 证 例3 证 ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 这也验证了下面的结论： ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , 相当于条件放缩 例6. 证明 证: 注意到不等式|sinx| ? | x | ?? 0, 要使|sinx – sinx0|? , 只须|x – x0|? , 取? =? . ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , (本例说明sinx和cosx在x0处的极限值就等于它在x0处的函数值。) 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 注： 该定理常用来证明极限存在于不存在，特别对分段函数在分段点的极限讨论很有用。 播放 通过上面图示的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1、定义： 2、几何解释: 3、另两种情形: 例1 证 若?? 0, ?X 0, 当xX (或x?X) 时, 有|f (x)?a |?. 若?? 0, ?X 0, 当xX (或x?X) 时, 有|f (x)?a |?. 证 应用方法： 其特征是:M 0,有x-M 关于函数极限与数列极限的联系与区别 函数极限, 从自变量的变化趋势来看, 有以下两种类型: （1）自变量无限增大 1。 x→∞,表示x按绝对值无限增大 其特征是:M 0,有|x|M. 其特征是:M 0,有xM 2。 x→+∞,表示x保持正值无限增大 3。x→-∞,表示x保持负值,但绝对值无限增大 *