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数学世家的光荣——函数的出现 17世纪，在瑞士的巴塞尔有一个祖孙五代数学家，成员数十人的家族——贝努利家族，其中最著名的是雅各、约翰、丹尼尔．欧拉从12岁起，就是这个家族成员的好朋友．他和同龄人尼古拉、丹尼尔结识，成为终生盟友，这两位兄长给欧拉讲了许多有趣的数学故事，吸引了他那颗幼小好奇的心灵，使欧拉从小立志，将来能像贝努利家族成员一样，腾飞于数学长空．1720年，欧拉在约翰·贝努利教授的推荐下，13岁成为巴塞尔大学的学生，从此他在约翰·贝努利的指导下迅速成长着.欧拉成为了贝努利家庭的一个成员,被世人传为佳话. 函数是中学数学中最重要的概念之一，函数 概念产生于300年前.笛卡儿引入了坐标系，使数 学发生了巨大变革,但他没用变量这个词.在数学 上使用变量这个词最早的是欧拉的老师约翰·贝努 利，他给函数下了这样的定义:“所谓变量的函数， 就是变量与常量组成的表达式”． 1775年，欧拉在《微分学》中给出了我们教科书中的定义. 读一读： 40分 50分 20分 100分 20分 20分 1、下图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？若是，用了函数的哪种表示方法？ 图象法 2、已知菱形ABCD的对角线AC长为4，BD的长x在变 化，则菱形的面积为y=－×4×x。本题中有几个变量？ 你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 1 2 关系法 3、在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量m/克 0m≤20 20m ≤40 40m ≤60 邮资y/元 0.80 1.20 1.60 上表中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 表格法 * * 《义务教育课程标准实验教科书》北师大版 第四章 一次函数 4.1 函数 函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数，什么是一次函数？它对应的图象有什么特征?用一次函数可以解决现实生活中的哪些问题？……你想了解吗？一起来看一看！ 问题1： 你坐过摩天轮吗？ 想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 11 37 45 h（米） t（分） 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 下图反映了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系. 问题1： (1)观察上图的各个量，有哪些变化的量？ 哪个是自变量，哪个是因变量？为什么？ 想一想： (2)根据上图填表： t/分 0 1 2 3 4 5 … h/米 … （课本75页） 3 45 37 11 11 37 对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 想一想： 问题1： 下图反映了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系. 在该问题中，有两个变量t和h，其中：给定一个t（自变量） 的值，相应的就确定了一个h（因变量）的值. 问题1： 下图反映了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系. 瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 层数n 1 2 3 4 5 ··· 物体总数y ··· 1 3 6 10 15 问题2： 根据上图，填写下表：