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外力分布 表 4.1 梁上分布载荷引起的等效节点力 4.2.1 平面刚架单元 2.有轴向变形的平面刚架单元 1）单元位移模式 取节点为i和j之间的杆件为梁单元，在节点i和j上所受到的节点力为轴力、剪力和弯矩，即节点力向量为 与之相对应的节点位移向量为 4.2.1 平面刚架单元 4.2.1 平面刚架单元 轴向位移 位移模式可取 的线性函数，而挠度 则可用 的三次多项式来表示，即 令 代入节点坐标，得 式中： 则可求得位移模式中的全部参数 和 。于是，梁单元的位移模式便可用节点位移来表示，其矩阵形式为 式中： ， 。 4.2.1 平面刚架单元 若将梁单元的节点位移记为 ，其中节点i和j的位移记为 则 式中 4.2.1 平面刚架单元 则形函数表示为 4.2.1 平面刚架单元 2）单元应变和应力 梁单元受到拉压和弯曲变形后，其线应变可分为两部分：拉压应变 、弯曲应变 。剪切应变对梁挠度的影响是微小的，可以忽略不计，则 式中 则应力表示为 4.2.1 平面刚架单元 式中 3）单元的刚度矩阵。由虚功原理得单元刚度矩阵为 4.2.1 平面刚架单元 当梁截面的高度大于梁长度的1/5时，剪切应变对挠度的影响就必须予以考虑，尤其是在薄壁截面的情形，剪切对挠度的影响将是巨大的。考虑剪切影响时，只需对梁单元的刚度矩阵作如下修正。 4.2.1 平面刚架单元 一般情况下，空间梁单元的每个节点的位移具有六个自由度，对应于六个节点力，如图所示。 4.2.2 空间刚架单元 单元节点位移为 ，其中两节点的位移分别为 单元节点力为 ，其中两节点力分别为 式中： 、 ——作用于节点i和j的轴向力； 、 、 、 —— 和 方向的剪力； 、 ——扭矩； 、 、 、 ——绕 和 轴的弯矩。 4.2.2 空间刚架单元 由虚功原理得空间梁单元的单元刚度矩阵如下 4.2.2 空间刚架单元 至于刚架单元式（4.26）的关系仍然成立，对于平面刚架单元的转换矩阵 如下 对于空间刚架单元的转换矩阵 如下 4.2.3 刚架单元转换矩阵 平面刚架结构如图所示，已知截面面积为0.5m2，惯性矩为1/24m4，弹性模量为30GPa，单元①的总体编码为2、1；单元②的总体编码为2、3，求刚架结构的节点位移。 4.2.4 算例 解：（1）单元刚度 首先由式（4.55）计算单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵，然后由式（4.60）计算相应的转换矩阵，由题意可知，单元①对应的 ，单元②对应的 ，最后由（4.26）计算单元在整体坐标系下的刚度矩阵，如下 4.2.4 算例 4.2.4 算例 4.2.4 算例 （2） 整体刚度 由于 ，因此在形成总体刚度矩阵时可以不必考虑这些自由度对应的刚阵元素，因为在求解时没有用到这些刚阵元素，因此只需考虑没有被约束的自由度，即 、 、 、 ，则简化后的总体刚度矩阵为 （3） 计算载荷列阵 由表4.1可得各单元得等效节点力，其中单元①为均布载荷作用、单元②为集中载荷作用，为便于叠加将其扩展成总体坐标系下的等效节点力，如下 单元①在总体坐标系下的等效节点力为 单元②在总体坐标系下的等效节点力为 直接作用在节点上的载荷 4.2.4 算例 同理在形成总体载荷列阵时，也不必考虑被约束自由度对应的元素，即在本例中不必考虑支座反力，只需考虑没有被约束的自由度，则没有被约束自由度所对应的总体载荷应为等效节点力加上直接作用在该节点上的载荷，即将 、 、 中的第4、5、6、9元素相加，如下 （4） 建立方程并求解，有限元方程如下 4.2.4 算例 计算后可得节点位移为 （5）说明 在一般情况下，如果梁上作用有集中力或集中力偶时，在划分单元时可将载荷作用点取为节点，在整体载荷列阵中进行叠加。本例中的单元②上作用有集中载荷，因此至少应将单元②进一步划分成2个单元进行计算，以保证精度，本例中没有进行划分的原因在于更加深入理解有限元的求解过程。 4.2.4 算例 杆件系统有限元法 第四章 杆件系统有限元法 第四章 杆件系统有限元法 § 4.1