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数值分析 第456章 习题课
* * 一、数值积分与数值微分 第4-6章 习题课 (数值积分和数值微分, 线性方程组的数值解法) 基本内容及基本要求 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。 了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。 会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。 二、练习 三、解线性方程组的直接方法 基本内容及基本要求 了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。 掌握高斯消去法,会矩阵的三角分解。 掌握高斯列主元素消去法。 掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。 了解向量和矩阵的几种范数。 了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。 分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组 四、练习 2. 设A为n阶对称正定阵，试证: (1) A的对角元素aii0; (2) 设L为非奇异阵，则LALT是对称正定阵； (3) 经顺序Gauss消去法A化为 求证A2为对称正定. 证明: (1)由正定二次型理论,aii=e’iAei0. (或因所有主子式0) (2) 因(LALT)T= LALT , 故LALT是对称的; 又因对于任意x≠0,则有y=LTx≠0,从而 xTLALTx=(LTx)TA(LTx)=yTAy 0, 故LALT是对称正定阵. (3) 经顺序Gauss消去法A化为 A2是对称的,因为 A2是正定的,这是因为经顺序Gauss消去法A的各阶顺序主子式的值不变, a11ⅹA2的k阶顺序主子式=A的k+1阶顺序主子式0, 且a110, 于是得出A2的各阶顺序主子式0. 五、解线性方程组的迭代法 基本内容及基本要求 了解迭代法及其收敛性的概念。 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 3. 了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。 雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,…, 高斯—塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,…,
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