多元函数微分学地几何应用.pptVIP

一、一元向量值函数及其导数 定义: 给定数集 D ? R , 称映射 向量值函数的导数运算法则: (P91) 向量值函数导数的几何意义: 向量值函数导数的物理意义: 例2. 设空间曲线? 的向量方程为 例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺 二、曲面的切平面与法线 内容小结 2) 一般式情况. 2. 曲面的切平面与法线 2) 显式情况. 2. 设 f ( u ) 可微, 备用题1. 证明曲面 2. 求曲线 例6. 确定正数? 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 , 因此有 其中 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况. 空间光滑曲线 切向量 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 空间光滑曲面 曲面 ? 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 法线的方向余弦 法向量 思考与练习 1. 如果平面 与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 证明 曲面 上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点 则通过此 作业 P100 3,5,6,8,10,11 第七节 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 引例: 已知空间曲线 ? 的参数方程: ? 的向量方程 对? 上的动点M , 即? 是 此方程确定映射 ,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念. 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 自变量 因变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 严格定义见P90 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 设 是可导向量值函数, 是可导函数, 则 C 是常向量, c 是任一常数, 在 R3中, 设 的终端曲线为? , 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 表示终端曲线在t0处的 切向量, 其指向与t 的增长方 向一致. , 则 设 设 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 例1. 设 速度向量： 加速度向量： 解： 求曲线? 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 = 6 求 旋式上升, 其位置向量为 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 解: (1) (3) 由 即 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交. 二、空间曲线的切线与法平面 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 设空间曲线的方程 (1)式中的三个函数均可导. 考察割线趋近于极限位置——切线的过程 上式分母同除以 割线 的方程为 曲线在M处的切线方程 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 解 切线方程 法平面方程 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 曲线Γ： 隐函数 x为参数 切向量： 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M处的切向量 在曲面上任取一条通过点M的曲线 对 t 求导 在 t0 处 是曲线 Γ在点M 处的切向量 与曲面Σ上任意一条经过点M的曲线在M处的切线垂直。 在 t0 处 这些与n垂直的切线构成曲面 在点M处的切平面。 切平面 切平面方程为 法线方程为 曲面在M处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 切平面的法向量： 切平面方程： 法线方程： 例3. 求球面 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 即 (可见法线经过原点，即球心) 特殊地：空间曲面方程形为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 解 切平面方程为 法线方程为 解 设