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第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 如果某些原因所引起的允许变形使微元体产生切应变分量 ，这时，微元体上内力的虚功为 1） 用应力和应变表达的内力虚功 如果允许变形使微元体产生的相应的应变分量为 ， 在小变形下，可认为在微元体上与 相对应的三个剪切变形互相独立，这样，内力的虚功 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 综上所述，注意到在小变形下6个应变分量是独立的，因此微元体上内力的虚功为 1） 用应力和应变表达的内力虚功 整个变形固体的内力虚功为 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 设想有两组平衡力系分别作用于某一线性弹性物体上，产生的应力分量、应变分量、位移矢量分别为 2） 功的互等定理 第一组平衡力系 第二组平衡力系 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 利用虚功原理和广义胡克定律可作如下推导： 2） 功的互等定理 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 即 2） 功的互等定理 上式表明：第一组平衡力系在第二组平衡力系引起的位移上所做的功等于第二组平衡力系在第一组平衡力系引起的位移上所做的功。这一规律称为功的互等定理。 功的互等定理是在力学中应用得非常广泛的一个定理。 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 如果变形固体有约束，施加一个广义力 F 后，该物体就要变形，且这个广义力和约束反力共同组成平衡力系，这个平衡力系的虚功就等于这个广义力的虚功。 3） 位移互等定理 如果对于同一个变形固体，在点 A 作用广义力 ，或在点 B 作用广义力 ，则由功的互等定理，有 其中， 是 单独作用时，点 A 平行与 的位移；而 是 单独作用时，点 B 平行与 的位移。 第9章 能量原理 9-4 虚功原理应用于小变形固体 若 3） 位移互等定理 对于有约束的小变形线弹性体，将大小相等的广义力作用于位置 A 或位置 B 处，则作用于位置 A 时引起的位置 B 处平行于作用在位置 B 的广义力（作用线或作用面）的广义位移 等于作用于位置 B 时引起的在位置 A 处平行于作用在位置 A 的广义力（作用线或作用面）的广义位移 。这一规律，称为位移互等定理。 则 第9章 能量原理 9-5 冲击 当物体受到急剧变化的外力时，应力和应变也急剧变化，这种现象称为冲击。引起冲击的载荷称为冲击载荷。冲击载荷及由冲击载荷引起的力学量常以字母 d 为下角标。 1）冲击物的变形足够微小，可把冲击物看作刚体。 由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能量守恒原理求得近似解答。为了研究问题方便，作以下假设： 2）被冲击物的变形为弹性小变形，服从胡克定律，质量可忽略，没有惯性。 3）冲击过程中，冲击物失去的机械能完全转变为被冲击物的变形能。 4）冲击一经发生，冲击物与被冲击物就粘在一起而不再分开。 第9章 能量原理 9-5 冲击 1）受水平运动物体的冲击 质量为 m 的物体以速度 V 冲击柱 AB也好，冲击杆AB也好，均可抽象为质量为 m 的物体以速度 V 冲击一个弹簧。只是不同的被冲击物，其弹簧系数不同而已。 * * 第9章 能量原理 9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 虚变形——满足物体变形连续条件和位移约束条件的允许变形。 物体发生变形的原因是多种多样的，例如温度、湿度变化等原因都会引起变形。由于没有限定虚变形的原因和原因的具体方式，一般来说虚变形是多种多样的。但在某一个原因下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的某一个。 虚变形的特点 满足变形连续条件 满足位移约束条件 未必真实发生的变形 简支梁如下的三种变形，均是它的允许变形，即虚变形 如果该变形是由力F引起的，那么对于力 F 来说，这个变形就是真实变形。 第9章 能量原理 9-1 虚功 杆件内力的虚功 1） 虚功 虚变形——满足物体变形连续