OpenGL进阶(十五) - 弹簧质点系统（Mass Spring Systems）.docVIP

? OpenGL进阶(十五) - 弹簧质点系统（Mass Spring Systems） 简介 ? ? ? 一个模拟变形物体最简单额方法就是将其表示为弹簧质点系统（Mass Spring Systems），因为方法简单，这个框架对于学习物理模拟和时间积分的各种技术都比较理想。一个弹簧质点包含了一系列由多个弹簧连接起来的质点，这样的系统的物理属性非常直接，模拟程序也很容易编写。 ? ? ? 但是简单是有代价了： 1.物体的行为依赖于弹簧系统的设置方法； 2.很难通过调整弹簧系数来得到想要的结果； 3.弹簧质点网格不能直接获取体效果。 ? ? ? 在很多的应用中这些缺点可以忽略，在这种场合下，弹簧质点网格是最好的选择，因为够快够简单。 ? ? ? 今天首先说明一下Mass Spring Systems的理论基础，然后来实现绳子的real-time模拟。 物理模型 ? ? ? 假设有N个质点，质量为mi，位置为xi，速度为vi , 1iN. ? ? ? 这些质点由一组弹簧S连接，弹簧参数为（i, ?j, lo, ks, kd）. i,j 为连接的弹簧质点，lo为弹簧完全放松时的长度，ks为弹簧弹性系数，kd为阻尼系数，由胡科定律知弹簧施加在两顶点上的力可以表示为： ? ? ? ? ?由受力守恒知 fi+fj = 0. fi和fj的大小和弹簧伸长成正比关系。 ? ? ? ? 对于阻尼的计算， ? ? ? ? ? 大小和速度成正比，并且符合力守恒，则对于一个质点，其受力方程为： 模拟 在模拟算法中，牛顿第二定律是关键，f = ma。在已知质量和外力的情况下，通过 a=f/m 可以得到加速度，将二阶常微分方程写成两个一阶方程： 可以得到解析解： 初始状态为 v(to) = vo, x(to)=xo. 积分将时间t内所有的变化加和，模拟的过程就是从 to 开始不断地计算 x(t) 和 v(t)，然后更新质点的位置。 最简单的数值解法就是利用有限的差分近似微分： 其中delta t 是为时间步长，t为帧号，带入之前的公式得： 这个就是显式的欧拉解法，下一时刻的状态完全由当前状态决定。 整个过程的伪代码如下： [cpp]?view plaincopy //?initialization?? ?forall?particles?i?? ?????????initialize?xi?,?vi?and?mi?? ?endfor?? //?simulation?loop?? ?loop?? ????????forall?particles?i?? ???????????????fi?←?fg?+?fcoll?+?∑?f(xi?,?vi?,?x?j?,?v?j?)?? ????????endfor?? ????????forall?particles?i?? ?????????????vi?←?vi?+??t?fi?/mi?? ?????????????xi?←?xi?+??t?vi?? ?????????endfor?? ?????????display?the?system?every?nth?time?? ?endloop??  fg表示重力，fcoll表示碰撞外力。 ? ? ? ? 显式积分是最简单的积分方法，不过有一个严重的问题 ——它只能在步长很小的时候稳定，这就意味着在两个可视帧中间需要进行多个模拟步骤，不稳定的主要原因是欧拉方法仅仅依赖于当前状态，它假设在整个步长中，外力是个常量。 ? ? ? ? 假设一个场景：两个质点和一根弹簧，轻轻拉伸后松手，两个小球向中间靠拢，这时候如果时间步长过大，由于力 在一个步长中大小不变，最终结果可能导致弹簧越弹越开，最后被拉断。 ? ? ? ? 更多关于显式与隐式积分，参考显式方法与隐式方法。 模拟一根绳子 ? ? ? ?在布料的模拟中，大部分都使用的弹簧质点系统。 ? ? ? ?整个模拟的的过程就和伪代码中的描述的一样。 环境：Ubuntu12.04 codeblocks10.04 glm9.5 ? ? ? ?代码清单： Mass类：质点类，表示质点，主要属性是质量，速度，位置 mass.h [cpp]?view plaincopy #ifndef?MASS_H?? #define?MASS_H?? #include?glm/glm.hpp?? #include?iostream?? class?Mass?? {?? ????public:?? ????????Mass(float?m);?? ????????~Mass();?? ????????void?applyForce(glm::vec3?force);?? ????????void?init();?? ????????void?simula