《信号与系统》讲义教案-第6章 离散信号与系统的Z域分析.docVIP

第6章 离散信号与系统的Z域分析 6.0 引言 与拉氏变换是连续时间傅立叶变换的推广相对应，Z 变换是离散时间傅立叶变换的推广。 Z 变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。 6.1 双边Z变换 6.1.1 双边Z变换的定义 前面讨论过，单位脉冲响应为h[n]的离散时间LTI系统对复指数输入的响应y[n]为 (6.1) 其中 (6.2) 式(6. 2)就称为h[n]的双边Z变换。 当z=时，Z变换就转变为傅立叶变换。因此一个离散时间信号的双边Z变换定义为： (6.3) 式中z是一个复变量。而x[n]与它的双边z变换之间的关系可以记做 6.1.2 双边Z变换的收敛域 x[n]的双边Z变换为一无穷级数，因此存在级数是否收敛的问题，即一方面并非所有信号的Z变换都存在；另一方面即使某信号的Z 变换存在，但并非Z平面上的所有点都能使X(z)收敛。那些能够使X(z)存在的点的集合，就构成了X(z)的收敛域，记为ROC。 只有当式(6.3)的级数收敛，才存在。存在或级数收敛的充分条件是 (6.4) 在x[n]给定的条件下，式(6.4)级数是否收敛取决于z的取值。在z复平面上，使式(6.4)级数收敛的z取值区域就是X(z)的收敛域。 6.1.3 零极点图 如果X(z)是有理函数，将其分子多项式与分母多项式分别因式分解可以得到： (6.5) 则由其全部的零极点即可表示出，最多相差一个常数因子。在?Z?平面上表示出全部的零极点，即构成的几何表示——零极点图。如果在零极点图上标出ROC，则该零极点图可以确定一个信号。 在?Z?平面上将零点、极点表示出来即为零极点图。 图 6.1 零极点图 例6.1 有序列，由式（6.1.3）式，它的为： 要使收敛，就必须满足，即，因此可得 (6.6) 当在0到1之间取值时，其零极点图和ROC如图6.2所示： 图 6.2 例6.1的收敛域 例，那么 当，即时，上使是收敛的，可得 (6.7) 当在0到1取值时，其零极点图和ROC如下图所示： 图 6.3 例6.2的收敛域 例6.1和例6.2的结论是应该熟记的，在以后的学习将经常用到。 例6.3 设一个信号是两个实指数序列之和 于是其z变换为 可得它ROC为。 例6.4 信号的Z变换为 ，ROC： 图 6.4 例6.4的收敛域 6.1.4收敛域的特征 ROC的特征： 性质1：的ROC是Z平面内以原点为中心的圆环。 性质2：ROC内不包含任何极点。 性质3：如果是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能除去和/或。 性质4：如果是一个右边序列，并且的圆位于ROC内，那么的全部有限值都在这个ROC内。 性质5：如果是一个左边序列，而且的圆位于ROC内，那么满足的全部值都一定在这个ROC内。 性质6：如果是一个双边序列，而且的圆位于这个ROC内，那么该ROC一定是由包括在内的圆环组成的。 性质7：如果的变换是有理的，那么它的就被极点所界定，或者延伸至无限远。 性质8：如果的变换是有理的，而且若是右边序列，那么ROC就位于平面内最外层极点的外边；也就是半径等于极点中最大模值的圆的外边。而且若是因果序列（即为等于0的右边序列），那么也包括。 性质9：如果的变换是有理的，而且若是左边序列，那么ROC就位于平面内最里层的非零点的里边；也就是半径等于中除去的极点中最小模值的圆的里边，并且向圆内延伸到可能包括。特别是若是反因果序列(即为等于0的左边序列)，ROC那么也包括。 例6.5 讨论信号的Z变换。 (6.8) 在时，两部分收敛域无公共部分，表明此时不存在。 当时，ROC为。如图所示。 图 6.5 例6.5的收敛域 　 6.2 双边Z变换的性质 Z变换的许多性质与的性质相似，其推论方法也相同。主要讨论其ROC的变化。线性若，；， 则，包括如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则ROC可能会扩大。时移若， 则， （6.10) 但在和可能会有增删。当信号时移可能会改变其因果性，故ROC在，有可能改变。3、Z域尺度变换若，ROC: 则，ROC: 时收敛，则时，收敛。。当时，即为移频特性。若是一般复数，则的