第三章微分中值定理与导数的应用习题课三.ppt

第三章 微分中值定理与导数的应用习题课 (三) 导数的应用 * 一、函数的极值与单调性 1．函数极值的定义 2．函数的驻点 3．函数的单调区间的判别 则 为 的驻点。 在 上，若 ，则单调增加； 若 ，则单调减少； 为极大值. ) ( ), ( ) ( ), , ( 0 0 0 。 x f x f x f x U x ￡ ? d 1．函数凹凸性定义 2．函数的拐点 称曲线为凹的； 称曲线为凸的。 3．函数凹凸性的判别 二、函数的凹凸性及拐点 凹弧与凸弧的分界点 。 凹 ； 凸。 1．第一充分条件 三、函数极值的充分条件 则 在 处取得极大值； 则 在 处取得极小值； （3）若 时， 的符号保持不变， 则 在 处没有极值； （1）若 时， 而 时， （2）若 时， 而 时， 2．第二充分条件 （2）当 时，函数 在 处取得极小值； （1）当 时，函数 在 处取得极大值； 设函数 在 处具有二阶导数且 ， ， 那么 设函数 在其定义区间 上连续，且除有限个 导数不存在的点外，导函数连续，且 ， ， ， 在 处导数不存在。且 不存在 不存在 极小 拐点 极大 拐点 分别研究函数在各个部分区间上单调性、凸凹性、极值及拐点。 ，则可用 将 划分， 五、求函数极值的解题方法 求 的极值 为极大值 求定义域 为驻点 变号由正到负 求 Yes 第一充分条件 第二充分条件 Yes 在 内求 的 驻点及不可导点 为极小值 为极值 为极值 在 变号 为极小值 为极大值 非极值 Yes No No No No No 解题方法流程图 六、典型例题 解: 【例1】确定函数 的单调区间。 因为 ，故知 的不可导点仅有 , 令 ，得 ， 。从而有 当 时， ，故 在 内单调减少； 当 时， ，故 在 内单调减少； 当 时， ，故 在 内单调增加； 当 时， ，故 在 内单调减少； 【例2】设可微函数 由方程 所确定， 试确定此函数 的单调区间。 解: 在方程两边对 求导，得 ，即 。令 ，得 ， 。从而有 当 时， ，故 在 内单调减少； 当 时， ，故 在 内单调减少； 当 时， ，故 在 内单调减少； 【例3】当 时, 证明：设 故