北京工业大学线性代数第二章矩阵的初等变换-课件（PPT-精）.ppt

第六节 矩阵的初等变换 　一 . 矩阵的初等变换 二. 初等矩阵 三. 可逆矩阵与初等矩阵的关系 四. 用矩阵的初等行变换求逆矩阵 方法二 令 则 问题： 你能从公式 受到启发，得到求逆阵的另一种方法吗 ？ 四. 用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵 设A是n阶可逆阵，我们有 从而 即 即 初等行变换 例3： 设 求 A-1 . 解： (初等变换法) ∴ 利用求逆阵的方法还可以解矩阵方程 （1） 设A可逆，则矩阵方程 的解为 X = A-1B 看分块矩阵 （A，B) , 则 ∴ 初等行变换 解矩阵方程 其中 方法一、 由矩阵A求出A的逆矩阵 例4： ∴ * 一. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 1. 定义: 记 同样的,也可对矩阵的列实行如上三种变换. 若将定义中的行换成列，即得矩阵的 初等列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”)． 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 注意 矩阵的初等变换与行列式性质之间的差别. 初等列变换： 如 3× 3× 3× 2× 2× 2× 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同． 逆变换 逆变换 逆变换 初等变换的逆变换： 如 2. 矩阵等价的定义 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B， 则称矩阵A与B是等价的,记作 等价关系的性质： 反身性 对称性 若 则 传递性 若 则 3. 阶梯形矩阵 若矩阵A满足： （1）元素全为0的行（称为零行）在下方； （2）元素不全为0的行(称为非零行)，从 均位于上一个非零行的主元的右边，则矩 阵A称为阶梯形矩阵。 （如果有零行的话） 左边数起第一个不为0的元素(称为主元)， （1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）、每个台阶 上只有一个非零行，竖线后是主元． 注：上三角矩阵是阶梯形矩阵。 如 特征： 4. 简化阶梯形矩阵 若矩阵A满足： （1）A是阶梯形矩阵： （2）每个非零行的主元均为1； （3）主元所在列的其它元素均为零。 则矩阵A称为简化阶梯形矩阵。 如 特别地，单位矩阵是简化阶梯矩阵。 命题 任意一个矩阵经过若干次初等行变 换总能变成阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵。 (简化阶梯形矩阵) 例1. 将矩阵 化为阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵。 解： A (阶梯形) (简化阶梯形) ４阶单位矩阵 (该矩阵称为矩阵的标准型) 若再利用初等列变换，则矩阵可化为 ５. 矩阵的标准型 定义： 形如 的矩阵，称为矩阵的标准型，简记为 定理1 任意矩阵A都与一个矩阵的标准型 等价， D也称为A的等价标准型。 6 初等变换对方阵行列式的影响 （1） B 结论： 初等行变换不改变矩阵的可逆性； A （2） B A （3） B A 同理，初等列变换不改变矩阵的可逆性， 即初等变换不改变矩阵的可逆性。 定理1: 因此，对于可逆矩阵我们有如下定理： 可逆矩阵经过初等行变换化成的简化阶 梯形一定是单位矩阵，从而标准型也是单位矩阵。 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 证明: 设n阶矩阵A经过初等行变换化成的简化 梯形矩阵是D， 由矩阵A可逆，则D的非零行的 个数等于n, 于是D有n个主元, 由于它们位于不 同的列，从而有 D=E. 则A的标准型也是E. 观察 二.　初等矩阵 观察 观察 定义: 由单位矩阵E经过一次初等变换 得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 也是E互换第i列与第j列得到的矩阵。 显然 (1)、对调两行或两列 用非零数k乘E的第i行(i列)得到初等矩阵 将矩阵E的第j行k倍加到第i行上 得到初等矩阵 也是矩阵E的第i列k倍加到第j列上 所得到的。 定理2 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵. 设 （1） 对A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵; （2） ，则 2. 矩阵的初等变换与初等矩阵的关系 3. 初等矩阵的逆矩阵 (1) 初等矩阵 均为可逆矩阵。因为 (2) 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵。 三. 可逆矩阵与初等矩阵的关系 定理3: 矩阵A可逆的充分必要条件是它可以 表示成有限个初等矩阵的乘积。 则A可逆. 充分性:设有初等矩阵 使 证： 必要性:设n阶方阵A可逆,则A经过初等行变换化成的简化阶梯形一定是单位矩阵E , 因 此有初等矩阵 使 从而 这表明A可以表示成有限个初等矩阵的乘积。 推论: m × n 矩阵A与B等价的充分必要条件 是存在 m 阶可逆方阵 P及 n 阶可逆方阵 Q，