第6讲 矩阵的幂级数.pptVIP

矩阵理论-第六讲 上节内容回顾 Hermite矩阵正定性 方阵的范数 三角不等式 齐次性 非负性 相容性 各种矩阵范数 1 – F – 2 – 1 –、 2 – 与矩阵范数相容的向量范数的存在性 从属于向量范数的矩阵范数 矩阵的谱半径及其在特征值估计中的应用 矩阵序列 定义 由 中的矩阵构成的与自然数集N等势的集合 一一映射 矩阵序列的收敛 若 则称矩阵序列 收敛于 ，或称A为矩阵序列 的极限，记为 或 不收敛的矩阵称为发散 矩阵序列收敛的充分必要条件 其中 是 上的任一矩阵范数 矩阵序列 证明： 先取 上矩阵的G – 范数证明上述充要条件 所以 由范数的等价性，对 上的任一矩阵范数 ， ，使得 矩阵序列 推论： 设 逆命题不成立 不收敛 矩阵序列 推论： 设 由此推论可得： 若 矩阵序列 上述命题可根据充要条件来证明： 由 可证 矩阵序列 若 则 若A存在，但不可逆时，上述定理不成立 矩阵序列 由方阵的幂构成的序列、收敛矩阵 定义 设 ，若 ，则称A为收敛矩阵 为收敛矩阵的充要条件 推论 设 ，若对 ，有 ，则A为收敛矩阵，即 矩阵序列 举例 判断下列矩阵是否为收敛矩阵 (1)利用充要条件 A是收敛矩阵 (2)利用充分条件 A是收敛矩阵 矩阵级数 矩阵级数的定义 由 中的矩阵序列 构成的无穷和 称为矩阵级数，记为 ，称 为矩阵级数的部分和。 矩阵级数的收敛和发散 若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列 收敛，且有极限S 则称矩阵级数 收敛，且有和S，记为 不收敛的矩阵级数称之为发散的 矩阵级数 中的矩阵级数收敛相当于C上的 个级数都收敛 举例 已知矩阵序列 的通项为 判断矩阵级数 的敛散性 考察上述矩阵级数的部分和 矩阵级数 矩阵级数收敛，且其和为 矩阵级数 矩阵级数的绝对收敛 定义： 设 ，如果 个数项级数 都绝对收敛，即 都收敛，则称矩阵级数 绝对收敛 矩阵级数的绝对收敛的充要条件 设 矩阵级数 绝对收敛 正项级数 收敛 证明： 矩阵级数 先在矩阵范数 下证明此命题 必要性： 矩阵级数 绝对收敛 都收敛 此 个级数均为正项级数，其相加所构成的级数 收敛。