数学建模基础题梯子长度问题.docVIP

梯子最短长度问题的优化模型 摘要 本文建立了一个关于当存在紧靠墙壁的长方体障碍物时，如何确定靠墙梯子最短长度问题的优化模型。 本文首先将梯子问题抽象成一个几何问题：在平面上，过定点（2,3）的直线被轴、轴所截的线段最小长度。即：直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，被轴、轴所截的线段最小长度。 模型I，模型II分别应用直角三角形边角关系原理和相似三角形相关边成比例原理，以直线与轴夹角和直线与轴交点与点的距离为变量建立了求单变量最小化的数学模型。应用牛顿迭代法中的三等分点有哪些信誉好的足球投注网站法对模型I，模型II进行求解，并同时对模型I，模型II的函数是单峰函数给出了证明。模型I和模型II的求解结果是：长度为的梯子会碰坏温室顶棚；当梯子与地面的夹角为0.8528，梯子在地面的落脚点与温室水平直线距离为2.6207时，所需梯子长度最短，最短长度7.0235。模型III应用同线向量斜率原理，以直线与轴、轴交点距原点距离为变量，建立了一个二元变量有约束非线性最优化模型。应用序列二次规划法对模型III进行求解：当梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为4.6207，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为6.5162时，所需梯子长度最短，最短长度为7.0235。三个模型的求解结果是一致的且当梯子取最短长度时，各变量的取值互不矛盾。 关键字：单变量最小化 二元变量有约束非线性最优化 牛顿迭代法 一、问题的重述与分析 在一栋楼的后面有一个很大的花园，在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室，温室伸入花园2米，高3米，在温室的正上方是楼房的窗台，现有一架7米的梯子，我们能否将这架梯子的一端放在花园中，另一端靠在楼房的墙上，使得梯子不碰坏温室棚？若否，问题梯子至少应为多长？ 我们所关心的是：如何使梯子长度最小，以何种函数形式表示出梯子长度L。从左视图观察我们可以把问题抽象为一个几何问题（如图1）：在平面上，过定点（2,3）的直线被轴、轴所截的线段最小长度。即：直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，被轴、轴所截的线段最小长度。我们可以分别以直线与轴夹角，直线与轴交点与点的距离，直线与轴、轴交点距原点距离为变量，得出直线被轴、轴所截的线段长度的表达式，再用最小化原理进行求解。 图 1 结合现实经验，在建模和求解过程中我们要注意，变量的取值范围为开集。 二、变量说明 表 1 文中用到的变量符号及其说明 符号 说明 梯子与地面夹角 梯子在地面的落脚点与温室的水平直线距离 梯子在地面的落脚点与楼房的水平直线距离 梯子靠墙处与温室地面的直线距离 梯子的长度 极小量，辅助变量边界的数值表示 极大量且，辅助变量边界的数值表示 三、模型假设 ⑴ 温室是与楼房等长，宽为2米，高为3米的长方体。 ⑵ 花园地面坚实水平，无坑洼。认为梯子架起时陷入花园地面的长度为0。 ⑶ 梯子恰好与温室顶棚边缘接触时不会损坏温室。若梯子长度不够，则认为一定碰坏温室棚。 ⑷ 当梯子恰好与温室顶棚边缘接触时长度最短。 ⑸ 结合实际，本文的数值解精确到小数点第四位。 四、模型的建立 模型I：以梯子与地面的夹角，即直线与轴夹角为变量进行建模。 设梯子长度为L,梯子与地面的夹角为，梯子问题转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即由(是极小量，辅助变量边界的数值表示）逐渐增加到的过程中，求被轴、轴所截的线段最小长度。 图 2 图 3 如图2、图3根据、、的几何关系可以得出如下的边角 关系： ,我们可以抽象出如下的数学模型： ， 模型II：以梯子在地面的落脚点与温室前沿的水平直线距离，即直线与轴交点与点的距离为变量进行建模。 设梯子长度为L，梯子在地面的落脚点距温室前沿的水平直线距离为，梯子问题则转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即由逐渐增加到（是极大量且，辅助变量边界的数值表示）的过程中，求被轴、轴所截的线段最小长度。显然，线段与线段平行，则线段与线段边上被线段截断的部分成比例。 图 4 图 5 如图4、图5，由几何关系可以得出以下的线段长度关系： ,我们可以抽象出如下的数学模型： ， 模型III：以梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离和梯子靠墙处与温室地面的直线距离，即直线与轴、轴交点距原点距离为变量进行建模。 设梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为，则问题可转化为直线以点为轴，从与轴平行顺时针旋转到与轴垂直的过程中，即在区域任意一点时，求被轴、轴所截的线段长度的最小值。 图 6 图 7 如图6、图7，由于与斜率相同，我们可以得出如下的关系式： 进而，我们可以得到下面的优化模型： 五、模型的求解 1、用牛