《有限元方法理论及其应用》综合考试.docVIP

1 等参单元及其应用 1.1 概述 通常用的一些三角形、矩形、六面体单元都是形状很规则的单元。对于形状规则的连续体，用这些单元来离散可以获得比较好的结果。但是，对于一些几何形状比较复杂的连续体，再用这些单元离散就比较困难。于是，有人就想出了坐标变换的方法来解决这个问题。通过一一对应的坐标变换，把规则的单元转变成形状不规则的单元，就可以用它们来离散几何形状复杂的连续体。 图1 4节点任意四边形单元及其母单元 称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元。x-y平面内的任意四边形单元称为实际单元。显然，母单元的节点相应于不同的x， y坐标就得到不同的任意四边形单元。 建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。 任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同： (i=1,2,3,4) 当然，该位移模式在x，y坐标系下不是双线性位移模式，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。 为了得到上述映射的数学表达，引入对母单元节点上x，y坐标进行插值的思想，将母单元上每一点对应的x，y坐标看成是对节点坐标的插值，插值函数与位移插值中的形函数相同： 这样就得到了一个事实上的映射，只要证明该映射确实把母单元映射成为实际单元，就是所需要的映射。 该映射是用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。由于该几何变换式中采用了与位移模式相同的参数（插值函数），因此称为等参变换。而所有采用等参变换的单元都称为等参单元。 为了使实际问题物理坐标系内的单元刚度、质量、阻尼、载荷等特性矩阵的计算也能在局部的自然坐标表示的规则域内进行计算，还需要研究这些矩阵积分式内被积函数中所涉及的导数、体积微元、面积微元、线段微元的变换以及积分限的置换。实现了这种变换和置换，则不管各个积分式中的被积函数如何复杂，都可以方便地采用标准化的数值积分方法进行计算，从而使各类不同工程实际问题的有限元分析纳入统一的通用化的程序。 借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散。因此，等参元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了重要的一部。 1.2 等参单元的数值积分 1.2.1 等参单元刚度矩阵的数值积分方法 通常都用数值积分代替函数积分，即在单元内选出某些点，称为积分点，算出被积函数在这些积分点处的函数值，然后用对应的加权系数乘亡这些函数值，再求出总和，将其作为近似的积分值。 1.2.1.1 一维数值积分 首先构造一个多项式,使在（i=1，2，3…，n）上有=，然后用近似函数的积分来近似原被积函数的积分。称为积分点或取样点。积分点的数目和位置决定了近似的程度，因而也就决定了数值积分的精度。 对于n个积分点，按照积分点位置的不同选择，通常采用两种不同的数值积分方案，即Newton-Cotes积分方案和高斯积分方案。 ① Newton-Cotes积分 对于n个积分点，根据积分点上的被积函数值可以构造一个近似多项式，使在积分点上有 = (i=1,2,···n) 上式用拉格朗日多项式表示 = 其中是n-1阶拉格朗日插值函数。 由于拉格朗日插值函数有如下性质： 的积分为 并令 则可得 = 式中为积分的权系数。 Newton-Cotes积分中，积分点的位置按等间距分布，即 用近似，可以写出 + 式中为余项。 引入一些变量后 ② 高斯积分 在此积分方案中，积分点不是等间距分布。定义n次多项式 由下列条件确定积分点的位置（i=1,2,…n-1） 有以下性质： a. 在积分点上。 b.多项式与在域内正交 被积函数可由2n-1次多项式来近似，即 用近似，可的结果： 1.2.1.2 二维和三维高斯积分 对于二维问题的积分 首先令为常数，进行内层积分 用同样的方法进行外层积分 类似地，对于三维数值积分，则有 1.2.1.3 三维六面体单元的Irons积分 关于三维积分Irons给出的公式是 1.2.1.4 二维三角形单元和三维四面锥单元的Hammer积分 对于二维积分，有 对于三角形积分，有 积分限中包含了变量自身。 1.2.2 确定积分阶的原理 1.2.2.1 保证积分的精度 以一维问题刚度矩阵的积分为例，如果插值函数N中的多项式阶数为P，微分算子L中导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是2（p-m）次多项式。为保证原积分的精度，应选择高斯积分的阶次n=p-m+1,这时可以精确积分至2（p-m）+1次多项式，可以达到精确积分刚度矩阵的要求。还需要指出，由于位移有限元所根据的最小位能原理，所以当单元尺寸h不断减小时，有限元解将单调地收敛于精确解。 对于二维、三维单元刚度矩阵进行精确积分的条件下，将保证当单元尺寸h不断减小时，有限元解单调地收敛于精确