论高等代数中的不变量.docVIP

重庆三峡学院毕业论文 论文题目：论高等代数中的不变量 专 业：信息与计算科学 年 级：2004级 学 号：200406010240 作 者： 指导老师：杜祥林（教授） 完成时间：2008年5月 目 录 摘要 I Abstract II 1 引言 1 2 关于不变量的定义 1 3 关于初等变换下的不变量 1 4 关于合同变换下的不变量 6 4.1 复数域下合同变换的不变量 6 4.2 实数域下合同变换的不变量 7 5 关于相似变换下的不变量 10 5.1 矩阵的相似不变量 10 5.2 矩阵相似的全系不变量 11 6 结束语 19 致 谢 19 参考文献 20 论高等代数中的不变量 摘要：“不变量”是数学研究中一个十分重要的内容，数学很多分支中都涉及到不变量．高等代数中也有一些不变量，熟知的有比如矩阵的秩、惯性指数、不变因子等．本文就是通过一系列严格的论证来证明高等代数中的各个不变量，然后研究这些不变量的性质及应用． 由于高等代数中的不变量较多，本文分别从矩阵的初等变换、合同变换、相似变换这些高等代数中的重要变换入手，探讨如何利用等价关系、分类、不变量、标准形及矩阵的初等变换的观点和方法来找到在每一种变换下的不变量，从而利用这些不变量来研究这些变换之间的关系． 在本文中依次证明了对于初等变换，矩阵的秩是唯一的全系不变量．合同变换在实数域上的唯一全系不变量仍然是矩阵的秩，而在复数域上的全系不变量除了矩阵的秩外，还有惯性指数．相似变换的不变量有：行列式、特征多项式、特征值、矩阵的迹以及最小多项式．全系不变量有行列式因子、不变因子以及初等因子．最后还举例说明了如何利用这些不变量来研究一些相关问题． 关键词：不变量；全系不变量；初等变换；合同变换；相似变换 On the Invariants in Advanced Algebra XIANG Qian-nan (Grade 2004, Information and Computing Science, College of Mathematics and Computer Science, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 ) Abstract:“Invariant” is an important content in the study of mathematics,which many branches of mathematics involve.There are also some invariants in the advanced algebra,such as the rank of matrix, inertia index, invariant factor and so on.This papers aim is to find these invariants through a series of strict demonstration,study their nature and application. Because there are so many invariants in advanced algebra,this paper begins with some important transformations which include elementary transformation, the contract transformation and the similar transformation of matrix in the advanced algebra,and probes into how to find the invariant of each transformation by using the viewpiont and method of equivalent relation, classified, the invariant, the normal form and the elemetary of matrix,in order to study the relations between these transformations. This paper proves that the rank of matrix is the only invariant in elementary transformation,and the rank of matrix is also the invariant in the contract transforma