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第0章 基本知识 主要内容 二、函数 ２．函数类别： 初等显函数 y=f(x) 隐函数 F(x,y)=0 参量函数 初等代数函数(只含代数运算显函数） 分段表达函数 单值函数 多值函数 初等函数 双曲函数与反双曲函数 三. 函数的几种特性 (3) 奇偶性 (4) 周期性 四. 反函数 两边夹准则 例. 证明数列 例1 证明若函数 y = f (x)是奇函数且存在反函数 x = f ?1(y), 则反函数也是奇函数。 证明： ∴反函数是奇函数。 例2 解: 当x?0时,y?1, 当x0时,y1,x=y-1, 几何解释: 数列的极限(P6): 数列xn当n无限变大时， xn能无限制的接近唯一确定常数a n=5 n=7 n=11 n=20 如:唯一性,有界性,局部保号性,夹挤规则（两边夹） 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 由条件 (1) 即 故 * 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 恩格斯 1. 基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程 多元微积分 极限方法 1） 计算圆的周长 圆内接正n 边形 O r ) a b x y o 3)计算曲边梯形面积 曲边梯形面积为 4)无穷级数 具备的数学素质： 从实际问题抽象出数学模型的能力 计算与分析的能力 了解和使用现代数学语言和符号的能力 使用数学软件学习和应用数学的能力 一、基本概念 1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素. P（x)表示元素具有性质 第0章 基本知识 2.邻域: 定义域 自变量 因变量 基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数）. (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o (2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 (4) 取最值函数 y x o y x o 在自变量的不同变化范围中,对应法则 用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 复合函数 定义: 设函数y=f(u),u?U，函数u=?(x), x ?X, 其值域 为?(X)={u\u= ?(x), x?X }? U，则称函数y=f[?(x)]为 x的复合函数。 y=f(u)称为外函数，u=?(x)称为内函数 注: 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. 1.复合函数 代入法 不能构成复合函数 . 3.并不是任意两个函数都可以进行复合运算 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 . 可表为 故为初等函数. 例： 不是初等函数 为初等函数 不是初等函数 为初等函数 奇函数. 偶函数. 双曲函数 奇函数, 有界函数, 双曲函数常用公式 2.反双曲函数 奇函数, 奇函数, 设函数 (1) 有界性 使 称 A为上界，B为下界。 (2) 单调性 为有界函数. 当 时, 称 为 I 上的 单调增函数 ; 称 为 I 上的 单调减函数 . 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 例1 判断函数 的奇偶性. 解： ∴ f(x)是奇函数. 例2 设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。 证明：设 显然 g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而