平面向量基本定理应用.ppt

* 周至六中数学组 教学目标 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量，了解平面基本定理的证明。 教学重点 平面向量基本定理，应用向量基本定理解决问题。 教学难点 对平面向 量基本定理的理解，应用定理解决平面几何问题 知识链接 1、实数与向量的积 2、两个向量的和（差）的求法 平行四边形法则 三角形法则 3、两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数λ，使得 b =λa 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 e 2 e 1 G H F E D C B A 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，该平面内给定的向量a能用e1、e2来线性表示。 问题：（1）任何向量a是否都可以用含有e1、e2的式子来表示呢？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由. 平面向量基本定理 如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定. e1 a e2 o A B C N M OM与OA共线 OM = λ1OA = λ1e1 同理ON= λ2OB = λ2 e2 ∴a = λ1e1 + λ2 e2 探究: a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0 （存在性） 唯一性： 我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式。 已知：向量 e1 ，e2 求作：向量 -2.5 e1 + 3e2 例1 e1 e2 o A B -2.5 e1 3 e2 C 作法： 1、任取一点O作OA = -2.5 e1 OB = 3 e2 2、以OA,OB为邻边作 OACB 3、OC为所求 例2. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，N为BM中点。设 ， ，试用基底{a，b}表示 N 例 3. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 关于基底{ }的分解式为 并且，满足该式的点P 一定在l上 (1) 根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得 设点P满足等式 ， 则 ， 即P在l上 令t= , 点M是AB的中点，则 由此可知,对直线l上任意一点P,一定存在唯一的实数t 满足向量等式(1);反之,对每一个实数t,在直线l上都有 唯一的一个点P与之对应.向量等式(1)叫做直线l的向量 参数方程式,其中实数t叫做参变数,简称参数. 与 的系数之和是1 特征： 用途： 判断点P在直线AB上，即是判定 三点共线的依据。 达标练习: 1、给出下面三种说法： （1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； （2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底； （3）零向量不可作为基底的向量 其中正确的说法是( ) A、(1)(2) B、(2)(3) C、(1)(3) D、(2) B 2.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且 ，用 表示 . 解：设 C B A D E F G 3、设G是△ABC的重心，若CA = a, CB = b 试用 a , b 表示AG A B C D E F 4、在正六边形ABCDEF中，AC = a , AD = b用 a , b 表示向量AB、BC、 CD、DE、EF、FA。 O a b 5.设x、y为实数，分别按下列条件， 用xa+yb的形式表示c. (1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)， c＝(-3，-5)； (2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)， c＝(-3，-5). 【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，