例说三角函数的最值求法.docVIP

例说三角函数的最值求法 王淑英 “三角函数的最值”问题是历年来高考和竞赛的热点之一，因此我们必须掌握解决这类问题的基本思想和方法. 利用三角函数的有界性求最值 利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤,∣cosx∣,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0, φ≠0)的函数最值. 例子 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合. 解散y=(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需 2x+=+2kπ，k∈Z. 即 x=+kπ, k∈Z. 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=+ kπ, k∈Z.} 转化为二次函数求最值 求函数y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-)2-, ∴当cos2x=1,即x= kπ,(k∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= kπ+,( k∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 利用均值不等式求最值 例3 已知0〈θπ，则sin(1+cosθ)的最大值是 . 解y=sin·2cos2, ∵0θπ, ∴0, ∴sin0,cos0, ∴y=2 =2 ≤2 当且仅当2sin2 =cos2,即tan2=,θ=2arctan时，等号成立. 换元法、 若0x，求函数y=(1+)(1+)的最小值. 解 y=(1+)(1+) =1+ 令 sinx+cosx=t(1t≤), 则sinx·cosx=， ∴y=1+= ==1+, 由1t≤,得y≥3+2, ∴函数的最小值为3+2. 数形结合法 设0xπ,则函数y=的最小值为（ ） （A） 3 （B） （C ）2 （D）2- 分析 （0xπ）的几何意义是： 表示过单位圆的上半圆上的一点与定点P（2，0）的直线的斜率. 由右图可知，当直线为⊙O的切线PA时，斜率最小. kPA=-,即-≤≤0, ∴≥-, ∴≥, 故选（B）. 放缩法 例6 设x≥y≥z≥,求乘积cosxsinycosz的最值. 解 由已知条件知 x=-(y+z)≤-2·=, sin(x-y)≥0,sin(y-z)≥0,于是cosxsinycosz =cosx[sin(y+z)+sin(y-z)]≥cosx·sin(y+z)= cos2x≥cos2+=, 且当x=,y=z=+时等号成立， 故cosxsinycosz的最小值为 . 又cosxsinycosz =cosz[sin(x+y)-sin(x-y)] ≤cosz·sin(x+y)=cos2z ≤·cos=(1+cos+)=, 且当x=y=π,z=+时等号成立，故cosxsinycosz的最大值为 原载于《 》