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课程整合： 利用几何画板探究轨迹问题 福建三明九中 黄玉山 (05-1-10) 几何画板是21世纪的动态几何。是探索几何学奥秘的强有力的工具。它所具有的强大的数值及函数值计算功能及图形动态演示功能，使得平面解几中的轨迹，通过画板演示，能形象、准确地观察到轨迹的变化。形成直观生动的动态轨迹，使人们原本无法实现的运动轨迹，直观展示在众目之下。 当然，要想利用几何画板探究轨迹问题，首先必须把已知条件，通过设计化为几何画板上的演示图形，从而实现运动轨迹的产生呈现。 下面本人就三例圆锥曲线中有关角平分线形成的轨迹问题 ，通过几何画板演示，探究形成的轨迹，并从几何方面求解验证所得的轨迹方程。 轨迹之例1：已知F1、F2为椭圆的两个焦点，点P是椭圆上任一点。过F2作ΔF1PF2的外角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程。 1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(2c)为长轴长画椭圆(|PF1|+|PF2|=2a)。P为椭圆上的动点。作∠F2PT的角平分线。过点F2作角平分线的垂线，垂足为M。 移动点P，观察垂足M的轨迹。可以看到垂足M的轨迹形成一个以原点为圆心的圆。 2、探究轨迹方程：由演示可知轨迹为一个以原点为圆心的圆，下面只要求出半径r即可。根据角平分线性质可知，|PF2|=|PQ|， 又由椭圆定义可知，|F1Q|=2a。 又|F2M|=|MQ|。 过F1F2中点O，连OM，OM为ΔF1F2Q的中位线， ∴|OM|=|F1Q|=a。 不论点P在椭圆上任何位置，动点M到O点距离始终等于a。所以点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，即：x2+y2=a2。 轨迹之例2：已知F1、F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线上任一点。过某焦点F作∠F1PF2的角平分线的垂线，求垂足M的轨迹方程。 1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(2c)为实轴长画椭圆(||PF1|-|PF2||=2a)。P1为椭圆右支上的动点。P2为椭圆左支上的动点。作∠F1PF2的角平分线。过点F2作角平分线的垂线，垂足为M。 移动点P，观察垂足M的轨迹。可以看到垂足M的轨迹形成一个以原点为圆心的圆。 2、探究轨迹方程：由演示可知轨迹为一个以原点为圆心的圆，下面要求出半径r及限制条件。 过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M。 则当点P在右支上时由角平分线性质知|PQ|=|PF2|，∴|QF1|=|P2F1|-|P2F2|=2a，a为双曲线的实半轴长。连接OM，则OM为ΔQF1F2的中位线。∴|OM|= a。∴M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆的劣弧。(当P无限远离原点时，角平分线趋于渐近线y=± (x0)。这时圆与渐近线的交点为空，即) () 当点P在左支上时，这时|QF1|=|PF2|-|PF1|=2a，M、O分别为F1F2、QF2的中点，MO为ΔQF1F2的中位线，∴MO为QF1长度的一半，即|OM|=a。∴M的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆的优弧。(当P无限远离原点时，角平分线趋于渐近线y=± (x0)。这时圆与渐近线的交点为空，即) ()。 综上所述：点M的轨迹是一个以原点为圆心，半径为a的圆扣去两点。即轨迹方程为： x2+y2=a2 ()。 同理若过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为M。则M的轨迹方程为： x2+y2=a2 ()。 轨迹之例3：已知F1、F2为双曲线的两个焦点，点P是双曲线一支上异于顶点的任一点。求ΔF1PF2的内切圆圆心M的轨迹方程。 1、画板作图：如图：以F1、F2为焦点(|F1F2|=2c)，2a(2c)为实轴长画双曲线(||PF1|-|PF2||=2a)。P为双曲线右支上异于顶点的动点。∴|PF1|-|PF2|=2a。作ΔF1PF2的内切圆，圆心为M(即两个角平分线的交点)。 移动点P，观察圆心M的轨迹，可以看到圆心M的轨迹是两条垂直于x轴无端点的垂线段(夹在两条渐近线之间、与x轴无交点)。 2、探究轨迹方程：由演示可知，点M的轨迹是夹在两条渐近线之间、与x轴无交点的 两条垂线段(无端点)，垂足为A，则A的坐标如何？ 由内切圆性质可知：|PE|=|PD|、|F2E|=|AF2|、|F1A|=|DF1|。 又由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=2a，由|PE|=|PD|得 |F1D|-|EF2|=2a，由|F2E|=|AF2|、|F1A|=|DF1|得 |F1A|-|AF2|=2a 又|F1A|+|AF2|=2c ∴|F1A|=a+c。 ∵|FO|=c，|OA|=a， ∴垂足A是双曲线的右顶点。 ∴所求点M的轨迹方程为：x=a (-byb且y≠0)(当点P远离原点时角平分线PM趋近于渐近线y=±，纵标y →b或-b)。 同理：当点P在双曲线的左支时，同理可得M的轨迹方