第二章变分法及其在最优控制中地应用.pptVIP

（4）边界条件： （5）哈密顿函数在最优轨线末端应有： 例1：试求使受控系统 由初态 出发，当 时，转移 到目标集 且使性能指标 为最小的最优控制 及相应最优轨线 解：终端约束条件为： 根据定理可得： 规范方程 边界条件： 控制方程： 解得： 例2：已知一阶受控系统： 求最优控制 使系统由X(0)=1转移到 未定,且使性能指标： 为最小 解： 2个独立方程 2个边界条件 联立求解：若令 则： 若系统为最优控制，则原有： 若H不显含t,则： 连续控制系统最优化问题的数值计算 方法: 参数最优化方法 梯度法 共轭梯度法 变尺度法 二阶变分法 梯度法：是求解最优控制问题的一种有效方法。 设问题为： 终端自由， 给定 求解步骤： ①设定初始控制 。凭经验给定，选取时应根据U(t)的物理意义 选择合适的 ，选择合适可加快收敛。 ②由 及状态方程，由 正向积分，计算 并计算 第一次迭代所得状态轨线。 ③ 已知。由 由 反向积分，计算 同时计算： 第一次迭代所得伴随函数 ④令泛出梯度： ( :第一次迭代所取的控制量) 进行下一步迭代： ，最优步长参数，取固定或由一维有哪些信誉好的足球投注网站法确定 ⑤以 代替 重复上述步骤 迭代公式： k=0,1,2,3…… ⑥判定收敛性： 为允许误差： 时收敛，计算结束 .J没有太大变化，几乎不变 缺失：仅考虑一阶梯度，收敛慢，但方法简单 共轭梯度法较好，尤其对二次型性能指标问题。其他方法自学 习题：用两种方法计算书中P461页习题上机 本章小结： 1、变分法是求解无约束最优控制问题的最有力工具，是基础。 2、哈密顿函数法求 的原理：若 为最优控制，则 也是H的极值函数。 3、若L及f不显函t，即H不显函t，则H沿最优控制 常数 若 自由，且 和g中不显含 则 0 4、古典变分法只适用于对控制量U没有约束的情况。问题的复 杂性在于求解两点边值问题的一组微分方程，需要计算机反复 求解。 第二章 极小值原理及应用 经典变分法缺陷： 1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。 b 、 f、L、 等函数对其自变量有充分可微性。 2、实际控制要求： a 、控制量u受不等式约束，如： ，i=1,2,3…… b 、性能指标有时并不完全可微 如：燃料最优控制： 若采用经典变分： 若采用经典变分法： 不再适用，求不出解来 实际应为 极小值原理 若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得 结论一致。 一、定理极小值原理：[时变系统] 时变受控系统 ，其中控制向量 ， 为容许控制 域， U(t)是在 内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始 转移到末端 ， 满足约束： ， 未定， 并使性能指标达 到极小值。 设 和 是如上J为最小的最优解， 为最优状态轨 为0的n维向量 ，满足: 1、规范方程： 2、边界条件： 线，则必存在不 3、与 对应的哈密顿函数H取极小值。 即:设 为满足 状态方程和协状态方程的最优解。 在 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条 使得 仅看作U的函数时也取最小值。 极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行 二、极小值原理的意义： 1 、容许控制条件放宽 变分法：在整个控制域，对U没有约束 有时 计算不易。 极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。 变分法仅为极小值原理的一个特例。 件为 证明，省略。 且即使U不受限制， 2、最优控制 使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。 这一原理是苏联学者 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。 在证明过程中： 与H得符号与这里所定义的相反。 ∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解 三、几种边界条件得讨论： 上面所讨论的是 和 已知。 受约束， 自由的最一般 情况。若 和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。 1） 已知， 边界条件为： 2) 给定， 自由， 未给定，