第五章 流体力学不可压缩粘流的精确解.doc

第五章 不可压缩粘流的精确解 自从建立了流体运动基本方程组，人们就开始致力于寻求在各种情况下流体运动的精确解。流体运动的精确解一方面对认识和分析流体运动的规律具有重要的意义，另一方面又可为检验各类数值方法的可靠性和精确度提供重要依据。不可压缩粘流的控制方程是于方程，由于它的的非线性，使得求流动精确解问题常常成为一件非常困难的工作。 在一些特殊边界条件下形成的流动，比如平行剪切流问题，方程的非线性项为零。求这一类问题的精确解，数学上处理起来比较容易。对定常流而言，常归结为解二阶常微分方程；在非定常流的情况下，常归结为扩散型方程等常见的数学物理方程，从而可以使用分离变量法、积分变换法或其它数学方法求解。本章将给出不同类型流动精确解的一些例子。 图5.1 平行平板间的流动 5.1 平行平板间的定常平面流 考虑粘性流体在相距的两块无限大平行平板间的流动，建立如图 5.1 所示的直角坐标系。流体运动源于沿方向的已知压力梯度的板壁运动。这里下板固定，上板以运动。当和不随时间变化时，流动是定常的。 考虑到速度只有沿方向的一个分量，并且只是坐标的函数，由于流线相互平行，称为平行剪切流。在方程 (3.3.12)中，非线性项是所有平行剪切流的特点，方程在方向的投影简化为 (5.1.1) 因压力梯度是一个常数，上式满足边界条件和的解为 (5.1.2) 由速度分布求出单位宽度平板间的体积流量 (5.1.3) 平均流速是 (5.1.4) 进一步求出切应力 (5.1.5) 当时，切应力的最大值和最小值分别在下板面和上板面处出现。 若压力梯度为零，粘性流体在板壁带动下运动，属于Couette流动，在粘度计等问题中可以遇见此类流动；板间流体的速度呈线性分布，与流体粘性的大小无关（但粘性系数不能为零）；切应力在全流场均匀分布，大小与粘性系数成正比。 若两板间无相对运动，流体在压力梯度下运动，属于Poiseuille流动，在平面槽道中出现此类流动；板间流体的速度呈抛物线分布；切应力呈线性分布，与流体的粘性系数无关。 图5.2 平行板间的分层流 例一、考虑平行平板间分层的Couette流动，板间充满两层互不相混的粘性流体，厚度分别为和，粘性系数分别为和，且。下板静止，上板运动速度为，求流体运动的速度分布。 解：基本方程与单一流体的情况相同，求解时将流场分区，共有四个积分常数需要确定，除了原有的两个固壁边界条件外，在界面处增加速度和切应力连续的两个条件，便可解得速度分布 (5.1.6) 粘性大的流体层速度梯度较小。进一步计算涡量表明，在分层流体的界面处，两侧涡量是不连续的。 5.2 同轴圆筒间的定常流 5.2.1 同轴旋转圆筒间的Couette流 图5.3 同轴圆筒间的流动 考虑两个同轴圆筒间的粘性流体，内筒的外径为，外筒的内径为。圆筒作匀速旋转，角速度分别为和。旋转式圆筒型粘度计内的流动可归入这一类流动（见图5.3）。 假定圆筒足够长，可以忽略圆筒底部壁面的影响。在筒壁带动下流体作轴对称定常运动，引入柱坐标系。本问题的流场中，流体运动速度只有沿方向的一个分量，速度只与坐标有关。这时，连续方程自动满足，方程在方向上的投影为 (5.2.1) 粘性系数不在控制方程中出现，表明流体微元上的总粘性力为零，但粘性应力是存在的。 筒壁上的边界条件是 (5.2.2) (5.2.3) 满足边界条件的速度分布解为 (5.2.4) 注意该流动一旦形成，速度分布与流体的粘性系数无关。令内筒静止，而保持不变，，则 (5.2.5) 相当于上一节平板间Couette流的速度分布。 由速度分布(5.2.4)式得到的涡量场是 (5.2.6) 它的特点是与无关。在两种情况下涡量场为零，其一是，这是涡量场变号的临界情况，这时的速度分布为。其二是取的同时让，这相当于一个涡核半径为的位势涡，速度分布为。在2.3.1节例二中讨论过，这是由于流场中曲率涡量和切变涡量正好相互抵消的结果。 该流场应变率张量的唯一非零项为 (5.2.7) 在或的情况下，流体作刚体式转动，流体不发生变形，上式的右边项为零。 进一步计算切应力 (5.2.8) 这表明本问题的粘性项在方程中为零，即流体微元上的总粘性力为零，但流体中粘性应力是存在的。内筒壁面上受到的摩擦切应力较大，外筒壁面上受