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第三章 图像变换 Ch3 Image Transform 图像变换是许多图像处理和分析技术的基础（以数学为工具）； 图像变换是把图像从一个空间变换到另一个空间，方便分析和处理； 分类：图像变换分为可分离变换和统计变换两大类。 可分离变换：傅里叶变换(FFT)、离散余弦变换(DCT)、哈达玛变换、沃尔什变换、哈尔变换等； 统计变换：霍特林变换。 §3.1 傅里叶变换(FT) §3.1.1 1D傅里叶变换的定义 一、 1D连续FT（ f(x)为连续可积函数） FT定义为： IFT定义为： 其中F(u)=R(u)+jI(u) 幅度谱: －－傅里叶频谱 相位角： §3.1 傅里叶变换（FT） 二、 1D离散FT( f(x)为一个数字序列) 傅立叶变换可以将一维信号从时域（或空域）变换到频率域。 正变换： ，u=0,…,N-1； F(u)是复函数，即 F(u) =R(u)+j I(u)= |F(u)| exp[jf] ； 幅度谱：|F(u)| = [R(u)2+I(u)2]1/2； 相位角： f (u) = arctan [I(u)/R(u)]； 反变换： ，x=0,…,N-1； §3.1 傅里叶变换（FT） 一、 2D连续FT FT定义为： IFT定义为： 幅度谱： 相位角： §3.1 傅里叶变换（FT） 二、 2D离散FT 考虑以正方形网格采样得到的图像的2D傅里叶变换。 正变换： 其中u,v=0,…,N-1； 反变换： 其中x,y=0,…,N-1； 二维FT的频谱和相位角与一维时类似，具体如下： |F(u,v)| = [R(u,v)2+I(u,v)2]1/2；幅度函数（傅里叶频谱） ? (u,v)= arctan [I(u,v)/R(u,v)]；相位角 §3.1 傅里叶变换（FT） eg. 2D图像函数和傅里叶频谱的显示 §3.1 傅里叶变换（FT） §3.1.3 傅里叶变换性质 一、分离性： ∵ exp[-2j?（ux+vy）/N] = exp[-2j?ux/N] exp[-2j?vy/N] ∴一个2D的FT可由连续2次运用1D的FT来实现，先进行y(列)变换，后进行x(行)变换 §3.1 傅里叶变换（FT） 分离性可表示为： 二、平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系? ） 此式说明将f(x,y)与一个指数项相乘相当于把其变换后的频域中心移到新位置 此式说明将F(u,v)与一个指数项相乘相当于把其反变换后的空域中心移到新位置 §3.1 傅里叶变换（FT） 三、周期性和共轭对称性 F（u,v）= F（u+N,v）= F（u,v+N）= F（u+N,v+N） 利用周期性和共轭对称性，只需一个周期的变换就可确定f（x,y ）或F（u,v)，方便了分析和计算。 如果f（x,y ）是实函数，则其FT具有共轭对称性： 四、线性性（分配律） 五、尺度变换 给定2个标量a和b，则有： §3.1 傅里叶变换（FT） 六、卷积 先讨论1D连续卷积，其定义为 图解表示如下： §3.1 傅里叶变换（FT） §3.1 傅里叶变换（FT） 卷积积分的步骤： 1 折迭：把 g(z) 相对纵轴作出其镜像 2 位移：把 g(-z) 移动一个 x 值 3 相乘：将位移后的函数 g(x-z) 乘以 f(z) 4 积分： g(x-z)和 f(z)乘积曲线下的面积即为 位置 x 的卷积值 对比连续卷积和离散卷积 §3.1 傅里叶变换（FT） §3.1 傅里叶变换（FT） ⑴1D离散卷积定义 将h(x)采样得到长度为A的序列{h (0),h (1),…,h (A-1)} ,将f(x)采样得到长度为B的序列{f(0),f(1),…,f(B-1)} 。 假设h(x)与f(x)周期均为M，则卷积结果周期也为M，当M=A+B-1时卷积才不会重迭。 计算离散卷积前，将两个序列尾部添0以得到长度为M的序列 ： §3.1 傅里