向量在几何证题中的运用.doc

向量在几何证题中的运用 学生姓名 阿卜杜合力力·阿不力孜 学 号： 20080101002 系 部：数学系 专 业：数学与应用数学 年 级：2008-1 班 指导教师： 完成日期：2013年 月 日 摘要 向量摘要 1 引言 1 1.向量的线性运算在证题中的运用 1 2.共线点问题 2 3.共点线问题 3 4.共面问题 5 5.向量的数量积在证题中的运用 7 6.向量的向量积在证题中的运用 9 7.三向量的混合积在证题中的运用 11 参考文献 13 致谢 14 引言 向量在数学和物理中的应用很广泛的一个概念。利用向量解决一些相关数学问题将大大减少解决步骤，大多数问题用向量来解决往往解法简单明快，尤其是用向量法解决三线共点，三点共线等问题比较方便。总之，许多几何证明题用向量法来解间单明快。 1.向量的线性运算在证题题中的应用 向量的加法，减法，数乘向量统称为向量的线性运算。与向量有关的任何问题都有向量的线性运算。用向量的线性运算解决问题时，必须注意向量的方向。 证明连结三角形两边中点的线段平行于第三边 ，且等于第三边的一半。 证明：如图所示设三角形ABC两边AB,AC 之重点分别为M,N 则 故 且 例2.证明对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于M且互相平分（如图所示）可以看出： 因此 , 即四边形ABCD是平行四边形 共点线问题 共点线是指：两个或两个以上的不同直线都相交于同一点，那么称这些直线为共点线。 解决此类问题往往用下列两种方法来，欲证三直线共点，可通过下列方法来证明： (1).在三线上取三点，去证这三点关于某定点由相同的定位向量。 (2).如令交于，去证点关于某定点由相同的定位向量。 例3：平行六面体的四条对角线及四对对棱中点线共八条，证它们必共点。 证：如图（3-1），设平行六面体的一组对菱的中点为且连线中点为，其他三组对棱中点连线的中点为 再设 则 同理 这说明四点重合，最后设的中点依次为 则 同理 这说明八点重合，于是命题得证。 共线点问题 共线点问题是指：三个或三个以上的不同点都在同一条直线上，那么称这些点为共线。 解决此类问题往往用两个向量与共点的充要条件为或两个向量 共线的充要条件是或两个向量与共线的充要条件是来解决。 例4：过抛物线焦点的直线交抛物线上的两点。点是在抛物线上的准线上，且。证明直线过原点。 证明：要证明直线过原点与共线，设从条件知道 因为三点共线 所以 化简得或 。 。 在一条直线上。 所以直线是过原点。 例5：试证，三点A,B,C共线点的充要条件是存在不全为零的实数使得且,其中O是任意取定的一点。 证明：必要性，若A,B,C共线则与共线，所以存在不全为零的实数K,L使得任取一点O，由上式得 即令,,则且 充分性，若对某一点O，有不全为零的实数使得且则于是即因此, 由于和不能全为零，从而与共线，所以三点A,B,C是共线 共面问题 如果一组向量都与一平面平行则称它们是共面的。这组向量就叫做共面向量。解决此类问题往往用向量的共面条件，如果两向量不共线则向量与向量共面的充要条件是，存在不全为零的实数小使或三个向量共面的充要条件是：它们的坐标为行（列）三价行列式的值为.即 推论：四个点共面的充要条件是 例6：对于任何空间四边形，试证它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一个平面。 证明：如图（4-1）利用多边形加法则可得 又分别是的中点 故有 （2） 将（2）代入（1）中两式相加得 即与共面。 与平行于一个平面。 例7：平面栽空间四边形的各边与点如图（4-2）证明。 证明：设建立仿射坐标系则令再令则 由于四点共面，所以 将第列乘以加到第四列得 化简得 即 。 向量的数量积在证题中的应用 向量的数量积是:两个向量的模和它们夹角的余弦之积叫做向量和的数量积，记作即 。 用数量积可以解决两个线段相等，两角相等。两条直线垂直等问题。 要证明两个线段相等，先把两个线段改为两个向，然后去证明这两个向量数量平方相等。 用数量积证明两角相等，多采用计算角度的方法去解。 用数量积证明垂直问题的一般步聚为： 欲证量线段（或直线）垂直，可将此两线段改为两个向量，然后证这两个向量的数量积为零，积或那么或那么 。 欲证直线与平面垂直，可在直线上配置一个非零向量，在平面上配置不共线向量和，去证和即可达到目的，或平面的法向量平行于向量 。 例8：如图（5-1）在正方体中分别是的中点。证明：面面 。 证明：建立空间直角坐标系 设正方体的菱长为，则 如 又设平面的法向量分别为则 ，