五章 方差分析.pptVIP

第五章 方差分析 §5.1 方差分析的基本思想 方差分析是分析试验数据的一种重要方法。一个复杂的事物，往往要受到许多因素的影响和制约。例如工业生产中的原材料，工艺条件，工人的技术水平等，它们的改变可能会影响产品的质量，如何通过统计数据，分析因素本身以及各因素之间的交互作用，找出对产品质量等特性指标有显著影响的那些因素，这是方差分析要解决的主要问题之一。 例.某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该饮料的销售情况 。（见下表） 问题：饮料的颜色是否对销售量产生影响？ 问题分析：销售量之间的差异是如何形成的。 该饮料在五家超级市场的销售情况 方差分析中的常用术语 因素：影响实验指标的条件，即方差分析研究的对象，比如，上例中的颜色就是一个因素； 水平：因素中的内容。上例因素中的水平有四个，即饮料的四种不同颜色。 单因素方差分析：所研究的问题只涉及一个影响因素，则称这样的方差分析为单因素分析 ； 多因素方差分析：所研究的问题涉及多个影响因素，则称为多因素分析 ，双因素方差分析是最常见的多因素方差分析。 方差分析的理论假设条件 各个水平的观察数据是来自于正态分布总体的随机样本，各个总体相互独立，且方差相同。 方差分析的原理 分析目的：要检验各个水平的均值是否相等，即： 分析手段：通过方差的比较。 方差分析的思想 水平之间的方差既包括系统性因素，也包括随机性因素；而水平内部方差仅包括随机性因素。 如果不同的水平对结果没有影响，如前例饮料的颜色对销售量不产生影响，那么水平之间的方差中就只包括随机性因素的差异，而没有系统性差异，它与水平内部方差就应该近似，两个方差的比值就会接近1；反之，如果不同的水平对结果产生影响，在水平之间的方差中就不仅包括了随机性差异，也包括了系统性差异，因此水平间方差就会大于水平内方差，二者的比值就会大1许多。 判断准则 当两个方差这个比值大到某个程度，或者说达到某临界点，我们就可以作出判断，即不同的水平之间存在着显著性差异。方差分析正是通过不同的方差的比较，作出接受或拒绝原假设的判断。 应用工具 F分布 水平间（也称组间）方差和水平内（也称组内）方差之比是一个统计量。证明，这个统计量服从F分布。 一、基本概念 在方差分析中，我们把所考察的试验结果，如产品的质量、数量、成本等，统称为指标，用X表示，由于试验误差的存在，故X是随机变量；称影响我们所关心的某个指标的原因为因素（或因子），常用A、B、C…来表示；称因素在试验中所处的不同状态为“水平”，因素A的m个不同水平用A1，A2 A3，…，Am来表示。 当只考虑一个因素时，称相应的方差分析为单因素方差分析； 当考虑两个因素时，称相应的方差分析为双因素方差分析； 当考虑更多个因素时，称相应的方差分析为多因素方差分析。 由于多因素方差分析与双因素方差分析相比并无本质上的差别，因此本章仅限于讨论前两类问题。 二、基本思想 为了说明方差分析的基本思想，我们先看一个例子。 例5.1 某灯泡厂用四种不同材料的灯丝制成四批灯泡，除灯丝不同外，其他生产材料和生产工艺完全相同。今由这四批灯泡中随机地各抽取6只灯泡进行寿命试验，结果如表5-1，试根据这些数据，推断灯泡使用寿命是否与灯丝材料不同而有显著差异（取显著性水平 ?=0.05）？ 表5-1 从表5-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长，A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间，我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同而有显著性差异的结论呢？ 不能，因为在灯泡制作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随机误差所造成的。 要正确地回答上述问题，在统计学上可以采取显著性检验的方法来解决。 在方差分析中，为了数学上便于处理，总是假定样本取自正态总体，且各个正态总体的方差都相等。我们把每一个水平看成一个总体，设对应于因素A的m个不同水平Ai有总体X~N(?i,?2)，即有： 这里?i=E(Xi)是Xi的理论均值，?i是随机误差，D(?i)=?2，则方差分析所要解决的问题就变成了检验假设 Ho： H1: 如果我们能够构造一个可以用来检验（5.2）的统计量，那么问题就好解决了。怎样来构造这样的统计量呢？由于试验数据的差异主要来自两个方面：一是试验误差，二是水平的改变（即条件变差）。因此，我们必须找出全部数据的总变差QT，并将它分解为样本随机变差QE和条件变差QA，在这个基础之上，用QE和QA构造一个统计量来检验多个正态总体的均值是否相