《线性代数》电子教案三.ppt

《线性代数》电子教案 §3.4 线性方程组的解及解的结构 1. 线性方程组的换法变换, 倍法变换和消法变 换统称为线性方程组的初等变换. 值得注意 的是倍法变换必须用 非零 的常数去乘某一 个方程.（注意与矩阵的初等变换相对应） 2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型. 例如 2x1+3x2 ?x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1?x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 第三章 线性方程组 §3.4 线性方程组的解及解的结构 3. 阶梯阵的形状与线性方程组的解. 2x1+3x2 ?x3 = 1 2x2+x3 = 2 0 = 1 x1?x2+2x3 = 8 2x2 +x3 = 1 x3 = 5 x1+2x2+x3 + x4 = 2 x3+4x4 = 3 0 = 0 无解 有唯一解 有无数解 2 3 ?4 1 0 2 1 2 0 0 0 1 2 ?1 2 8 0 2 1 1 0 0 1 5 1 2 1 1 2 0 0 1 4 3 0 0 0 0 0 解的数目 Ax = b Ax = b ~ ~ [A, b] ~ ~ [A, b] r2 = r1+1 r2 = r1 = n 第三章 线性方程组 此时，虽然系数矩阵和增广矩阵相等，但有效方程的个数少于未知数的个数，因此必然导致由若干个未知数可任意取值，从而方程组有无穷多组解 §3.4 线性方程组的解及解的结构 例1. 设有线性方程组 问?为何值时, 此方程组 (1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解? 并在有无穷多解时求其通解. 解: 对其增广矩阵[A, b]作初等行变换, 化为阶 梯形. 第三章 线性方程组 §3.4 线性方程组的解及解的结构 1+? 1 1 0 1 1+? 1 3 1 1 1+? ? [A,b] = 1 1 1+? ? 1 1+? 1 3 1+? 1 1 0 ?(?1) 1 1 1+? ? 0 ? ?? 3?? 1+? 1 1 0 1 1 1+? ? 0 ? ?? 3?? 0 ?? ??(2+? ) ??(1+? ) ?(?1?? ) 1 1 1+? ? 0 ? ?? 3?? 0 0 ??(3+? ) (1??)(3+? ) ?1 第三章 线性方程组 §3.4 线性方程组的解及解的结构 1 1 1+? ? 0 ? ?? 3?? 0 0 ??(3+? ) (1??)(3+? ) (1) 当? ? 0且? ? ?3时, 方程组有唯一解; (2) 当? = 0时, 方程组无解; (3) 当? = ?3时, 方程组有无穷多解. 此时 1 1 1+? ? 0 ? ?? 3?? 0 0 ??(3+? ) (1??)(3+? ) 1 1 ?2 ?3 0 ?3 3 6 0 0 0 0 = 1 1 ?2 ?3 0 1 ?1 ?2 0 0 0 0 1 0 ?1 ?1 0 1 ?1 ?2 0 0 0 0 ?(?1) ?(? ?) 1 3 第三章 线性方程组 §3.4 线性方程组的解及解的结构 1 0 ?1 ?1 0 1 ?1 ?2 0 0 0