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第二节 多元函数的概念 练习 例题与讲解 例：讨论函数 例题与讲解 例：讨论函数 练习：极限计算 返回 上页 下页 目录 第六章 一、多元函数的定义 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性 一、多元函数的定义 例 设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则长方形的体积 我们就称Ｖ是x,y,z的三元函数. V=xyz(x0,y0,z0), 所谓多元函数是指因变量依赖于多个自变量的函数关系,下面我们给出多元函数的定义. 都有唯一确定的实数y与之对应, 则称此法则?为定义在 定义域是自变量的取值范围, 常记为D(?). 定义# 设D为一个非空的n元有序数组 的集 合, 对于每一个有序数组 依某一法则?, D上的n元函数,记为 称变量 为自变量, 变量y为因变量. 也称因变量y为自变量 的函数; 集合D为该函数的定义域. 下面我们只讨论两个自变量的情形,即二元函数. 定义7.1 设D是xOy平面上的一个点集,若对D中任意点(x,y),按照某一确定的对应法则f,都有唯一确定的实数z与之对应,则称变量z是x,y的二元函数,记为 z=f(x,y), (x,y)∈D. 其中x和y称为自变量,z称为因变量,点集D称为函数的定义域. 定义域是指使表达式?(x,y)有意义的所有有序数组(x,y) 构成的集合. 例7.6 求函数 的定义域,并作出D的示意图. 解 由函数表达式知, 时函数有意义. 例7.7 求函数 的定义域D,并作出D的示意图. 解 要使函数有意义,必须有 故定义域D={(x,y)|y－x0,xy≥0,x2+y2－10}. t∈R,有(tx,ty)∈D且 特别地, 对于区域D上的二元函数z=?(x,y), 若对于实数 (m为常数), 则称 ?(x,y) 为m次齐次函数. 当m=0时, 则称?(x,y) 为0次齐次 函数, 简称齐次函数. 二元函数的几何意义是表示三维空间中的一个曲面,其定义域D为该曲面在xOy平面上的投影. 二、二元函数的极限 定义7.2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义(P0可以除外),A是常数,若对任意给定的ε0,存在δ0,使得当 0|x－x0|δ, 0|y－y0|δ恒有( 或 ) |f(x,y)－A|ε 成立,则称当P(x,y)→P0(x0,y0)时,函数f(x,y)以A为极限,记作 或 注意： 1. 点P(x,y)趋于点P0(x0,y0)的方式是任意的。 2. 若要说明极限不存在, 只要找两条趋于点P0的不同路径,使其极限不等即可. 3. 计算或证明极限存在,则情况比较复杂,对于二元函数的极限,我们只要求通过下面例题简单了解一下就可以了. 例7.8 判断下列极限是否存在,若存在求出其值. 解 (1)由 ,可得 (2)当(x,y)→(0,0)时,x2+y2≠0,这时x2+y2≥2|xy|,可知 所以,当(x,y)→(0,0)时, ,即 (3)当(x,y)沿x轴趋于(0,0)时,这时,y=0,x≠0,当x →0时 同理,由(x,y)沿y轴趋于(0,0)时,有 但是,当(x,y)沿另外的途径趋于(0,0)时,情况就不一样了.如沿(x,y)斜率为k的直线趋于(0,0)时,即y=kx,x→0, 随着k取值的不同,极限也就不同,因此, 不存在. 解 三、二元函数的连续性 定义7.3 设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,分别给x0,y0一个改变量△x和△y,并使得(x0+△x,y0+△y)属于f(x,y)的定义域,这时函数z=f(x,y)的改变量为 △z=f(x0+ △x,y0+ △y)－f(x0,y0) 如果 ,即 则称z=f(x,y)在(x0,y0)处连续,否则称f(x,y)在(x0,y0)处间断(不连续). 二元函数的连续性概念与一元函数连续性概念类似. 则称函数?(x,y)在点 不连续(或间断). 连续; 否则,称函数?(x,y)在点 如果函数?(x,y)在区域D上的每一个点都连续,则称函数 连续函数z=?(x,y)的图形是一张无孔、无缝的连续曲面. ?(x,y) 在区域D上连续,亦