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4.3 协方差 相关系数 一、 协方差的定义 二、 协方差的性质 三、相关系数的定义 四、 相关系数的性质 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数 对于二维随机变量(?，?)来说，数学期望E?，E?仅仅反映了?与?各自的平均值，而方差D?，D?也仅反映了?与?各自离开均值的偏离程度，它们没有提供?与?之间相互联系的任何信息。 而事实上，从前面的二维随机变量(?，?)联合分布律或联合概率密度的讨论，我们知道?与?之间是存在着密切联系，因此，我们也希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系。 这便是本节要讨论的问题。 在方差性质4的证明中，我们已经发现当?与?独立时，必有 也就是说，当 时， ?与?肯 定不独立，由此说明式 在一定 程度上反映了?、?间的某种联系。 一、 协方差的定义 若X取值比较大(XE(X)),Y也较大(YE(Y)) 若X取值比较小(XE(X)),Y也较小(YE(Y)) 若X取值较小,Y取值较大或若X取值较大,Y取值较小, 这时Cov(X,Y)0 这时Cov(X,Y)0 则Cov(X,Y)0 协方差可了解两个变量之间变化的关系(变化趋势在平均意义上而言): 正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值,负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势. 在连续型场合下的协方差是通过积分来表示的，即 特别，当?=?时，有 由定义可知，在离散型场合下的协方差是通过和 式来表示的，即 二、 协方差的性质 注：?与?独立是式D(?+?)=D? +D? ，E(??)=E?·E? 成立的充分条件，上两式成立的充要条件是 Cov(?，?)=0。 (2) Cov(?，?)=E(??)-E(?)E(?)； 我们常利用这一式子计算协方差。 (3) Cov(?，?)=Cov(?，?)； (5) Cov(?1+?2，?)=Cov(?1，?)+Cov(?2，?)。 协方差的数值虽然在一定程度上反映了?与?相互间的联系，但它还受?与?本身数值大小的影响。 譬如说，当?，?各自增大k倍，即?1= k ?，?1= k?，这时?1与?1间的相互联系和?与?间的相互联系应该是一样的，但事实上由性质4知： （4）Cov(a?，b?)=abCov(?，?) ； a，b?R 即表明协方差增大了k2倍。为克服这一个缺点，引入下面的所谓相关系数的定义。 顾名思义，相关系数反映了随机变量?与?之间的相互关系——也就是它们相互之间的一种联系。 但到底是哪一种联系呢？这是需要进一步弄清的问题。 三、相关系数的定义 关于?XY的符号: 当 ?XY 0时,称X与Y为正相关. 当 ?XY 0时,称X与Y为负相关. 相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里. 即正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. (1) 问题的提出 相关系数的性质 解得 (2) 相关系数的意义 证明 (3) 相关系数的性质 由方差性质知 故有 定理 若随机变量X，Y相互独立， 则 (4) 不相关与相互独立的关系 注 1) 相互独立 不相关 2) 不相关的充要条件 ,即X，Y不相关。 如后面例２． 例1 已知随机变量?的分布律为 而?=?2。试证随机变量?与?不相关但并不相互独立。 证 ?与?不相互独立是显然的，因为?的值完全由 ?的值决定。 故?与?线性不相关。 从上述例子可以看出，不相关性和独立性是两个不同的概念。在一般情况下并不能从不相关性推出独立性。不过从下述例子可以看出，当(?，?)服从二维正态分布时，?与?的不相关性与独立性是一致的。 例2 设 。证明： 由此可知，若