数论之同余与余数问题.doc

第14讲 数论之同余与余数问题 【和差积的余数同余余数的和差积】【1】 【解析】（9+7+2）×(9-7)×(7-2)=18×2×5=180，180除以11余4. 【2】 【解】、、除以3，余数是0，所以只须看表达式除以3余几． 注意：如果a除以3余, b 除以3余. ，那 a×b 除以3所得的余数就是内×除以3所得的余数 因为4、7除以3余1，所以、，除以3，余数也是1 . 因为5、8除以3余2，所以、除以3，余数与, 除以3的余数相同而=16 除以3余1，所以=×2除以3 余2 , =×除以3余l（=1×1） 于是除以3，所得余数与l＋4＋l＋2＋1＋1除以3，所得余数相同，即余数是1 . 【3】 【解】 有已知，乙，丙，丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖的总块数是 9＋17＋24＋28＋30＋31＋33＋44=216 216除以5的余数为1，所以甲取走的一盒除以5余1.因此甲取走的一盒中有31块奶糖. 【4】 【解法1】 甲余11人，乙余36－11=25人.甲团人数与乙团人数的积除以36，余数与11×25除以36的余数相同，即余23.所以最后一卷拍了23张，还可拍36－23=13张. 【解法2】因为除去最后一辆车，其它个车里两团代表人数都是36的倍数，所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的. 25×11÷36=7……23 还可拍36－23=13(张). 【5】 【分析】任何数乘方的尾数都是4 个数一周期． 7是7、9、3、1循环，因为2010÷4 ＝502 … 2，所以 尾数是9. 8 是8、4、2、6循环，因为98 ÷4余2，所以尾数是4 . 9 是9、1、9、9循环，因为2009÷4余1 ，所以尾的数是9 . 9+9×4=45，个位为5. 【6】 【分析】 求结果除以l0的余数即求从l 到2005 这2005 个数的个位数字是10 个一循环的，而对于一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4 个一循环的，因此把每个加数的个位数按20 个一组，则不同组中对应的数字应该是一样的． 首先计算的个位数字为M . 2005 个加数中有100 组多5 个数，100 组的个位数是M×100的个位数即O , 另外5 个数为，它们和的个位数字是1＋4＋7＋6＋5＝23 的个位数3. 【7】 【分析】 同余的性质的应用．【解】 ∵ 143≡3 ( mod7 )  ∴≡ ( mod 7)  ∵≡1(mod 7)  ∴ ≡5 (mod 7) . 【评析】 这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破，大大简化题目的难度。【巩固】 【解析】2011÷8余3，与除以8的余数相同，3×3除以8余1，所以【同余-用于求除数】同余：a÷x余r, b÷x余r，则(a-b)是x的倍数。【基础知识练习】 【分析】 所求自然数减去 63 的差可被 247 与 248 整除，再考虑这个差被 26 除的余数． 【解】 设所求自然数减去63，差是 A ，则 A 被 247 与 248 整除， 247 = 19×13 , 248=2 ×124 所以 A 被13与2整除，13与2 互质，得 A 被 26 整除．原来的自然数是 A + 63 ，所以只要考虑 63 被 26 除后的余数． 63 = 26×2+ 11 因此这个自然数被 26 除余11 答：所求余数是11. 【评析】 如果一个整数能被甲、乙两数整除，并不能得出它被甲、乙两数的积整除．在甲、乙两数互质时，才能导出这个数被甲、乙两数的积整除． 【1】 【解析】由85-69=16，93-85=8，推出A=8或4或2，97÷8=12……1.所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。 【2】 【解】 这个数A除55l745个数去除551745,1,1133,1327,所得的余数相同所以有551745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数． 1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582． 这些数都是A的倍数所以A是它们的公约数而它们的最大公约数(194，388，194，582，776，582)=194． 所以这个数最大可能为194． 【分析与解】 设这个除数为M设它除6390,130所得的余数依次为b,c,商依次为B,C． 63÷M=A…… 90÷M=B……b 130÷M=C……c a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即28325=258=(A+B+C)×M． 所以M是258的