节逆矩阵初步.pptVIP

* * §1.5 逆矩阵 我们定义了矩阵的加法、 矩阵有没有除法？ 在数的运算中 A =(?)A (?) 定义1.10 对于矩阵A, 减法、 数乘矩阵 和矩阵的乘法. 对于矩阵A 是否存在一个矩阵，满足 则称矩阵A为可逆矩阵, 如果存在矩阵B,使得 而B称为A的逆矩阵 . 注意：可逆矩阵必为方阵。 Am×l Bl×n Am×l =Bl×n m=n (AB)m×n m=l ∴l=m=n A B = E B A = E n阶矩阵A为可逆矩阵, A可逆，B是A的逆矩阵. A与B互为逆矩阵 A,B为同阶方阵. =(BA)l×l B为A的逆矩阵 其逆矩阵是 则它的逆矩阵是唯一的. 证： 设B、C都是A的逆矩阵，即 于是 由于A的逆矩阵是唯一的， 所以A的逆矩阵唯一。 若A是一个n 阶可逆矩阵， A的任意两个逆矩阵都相等， A没有不同的逆矩阵， 将A的唯一的逆矩阵记为 也可逆， 它的逆矩阵为 在什么条件下， 如果A可逆， 定理 矩阵A可逆的充要条件是 证： 由此得 =1 下面要解决的是： n 阶方阵A可逆？ 如何求 ∵A 可逆, ?A 有逆矩阵， 设 矩阵A可逆 定义1.11 若方阵A的行列式 则称A为非奇异的. 矩阵A可逆 A非奇异 矩阵A不可逆 不可逆， 则称A是奇异的. 即: 矩阵A可逆 A非奇异 A奇异 如 它没有逆矩阵. 定义1.12 中元素aij 的代数余子式， 为A的伴随矩阵 . 则称矩阵 设Aij 是方阵 同理 同理 同理 一般地 此时A可逆，且 (1) 若 则A不可逆， A没有逆矩阵. 定理1.5 n 阶方阵 此时 例 A是否可逆？ 可逆的充分必要条件是 A非奇异, 若可逆，求其逆矩阵。 定义1.10 对于n 阶矩阵A, 对n 阶矩阵A, 证： 由AB=E 得 =1 从而A可逆， * 则矩阵A可逆, 如果存在n 阶矩阵B, 则称矩阵A为可逆矩阵, 使得 而B称为A的逆矩阵 . 且B为A的逆矩阵. 如果存在n 阶矩阵B, 使得 存在 其逆矩阵 对n 阶矩阵A, 例 设矩阵A可逆, 则矩阵A可逆, 如果存在n 阶矩阵B,使得 证明A的伴随矩阵A*也可逆, 并求 ∵A可逆, ∴A*可逆,且 且 逆矩阵的性质 (2)两个同阶的可逆矩阵A,B 证(2) 故AB可逆, 注意:一般地 (4)若矩阵A可逆， kA也可逆,且 (5) 的乘积也可逆,且 k≠0，则 证(3) 故AT 可逆, (4) 若矩阵A可逆，k≠0，则 kA也可逆，且 证(4) 故kA 可逆, 例 设A,B,C均为同阶的方阵,证明 一般地，A与B都可逆 A可逆 A可逆 A可逆 证 A,B 为可逆的方阵, 一般地，对于准对角矩阵 若 A1 , A2 , …, At 都是可逆的方阵, 则D可逆,且 则D可逆,且