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则上图的脉冲传递函数为: 需指出的是 例2: 求下图所示开环系统的脉冲传递函数 解: 则: 由Z变换的滞后定理可得: B. 闭环系统的脉冲传递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性, 因此 闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂. 下图是一种 常见的离散闭环系统的结构图形式: 因为 , 所以 例: 求下图所示系统的Z传递函数, 采样周期T=0.07s. 解: 6.4.3 离散系统数学模型的模式之二___离散动态方程 离散控制系统的被控对象一般都是连续的, 当用连续动态 方程描述被控对象时,就需将连续动态方程离散化. 现假设被控 对象连续动态方程的一般形式为: 令: 对上式进行变量代换, 令 解: 可求得状态转移矩阵为: 令t=T, 则: 而: 当T=1时, 可得: 下面讨论离散动态方程的求解方法. 设离散动态方程为: 递推法给出的状态方程的解不是闭合形式, 但便于用计算机求 解. 由输出方程可方便地求出输出. 2. Z变换法 对状态方程 例: 采样周期T=1s的离散系统的齐次状态方程为: 求其解. 6.6 离散控制系统的性能分析 6.6.1 离散控制系统的稳定性 1. 稳定条件 在线性连续系统理论中已知, 其稳定的充要条件是系统的 所有极点均在S平面的左半平面上. S平面的虚轴是稳定区域的 边界. 在线性离散系统中, 如用拉氏变换, 则变换式中含有 上述结论的正确性可说明如下: 设在S平面上,有 为此需把Z平面再进行一次变换, 令: ,或令: 有上述Z—W变换, 可将Z平面上的特征方程D(z)变换为W平面 上的特征方程D(w), 即: 2. 李雅普诺夫稳定判据在离散控制系统中的应用 对于线性定常离散控制系统, 李雅普诺夫直接法的稳定判 据可作如下表述: 为讨论问题方便起见, 设采样周期T=1s. 则给定系统的状 态方程可表为: 例: 试用李雅普诺夫直接法的稳定判据判别下面给出的离散 状态方程所表示系统的稳定性. 课外习题:P.416第6.15题(1)(2)(4), 第6.16题 6.6.1 离散控制系统稳态误差的计算 非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示: 定义离散稳态误差(或偏差)信号为: 需强调指出的是, 上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样 时刻的稳态值. 计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三 种: 下面介绍在典型输入信号作用下, 用稳态误差系数法计算稳态 误差值的具体方法. (1) 阶跃(位置)输入时 (2) 斜坡(速度)输入时 令 抛物线(加速度)输入时 例: 试求下图所示系统在输入信号r(t)分别为 时的稳态误差值 当 时, 为分析方便起见, 假设 无重极点, 则 对于系统的任一极点 , 均可表为极坐标形式, 即 瞬态响应分量为 上式中待定系数 6.6.4 离散控制系统的能控性和能观性 对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接 写出其离散状态方程 对于n阶线性定常离散控制系统的物理原型, 如能直接 写出其离散动态方程 当线性定常离散控制系统的动态方程是由连续控制 系统的动态方程经离散化后而得到时, 其状态的能控性 和能观性可由下面三个定理判定. 定理一: 如连续控制系统[A,B,C]状态不能控(或不 能观), 那么对任意采样周期T离散化后的系统其状态也 必不能控(或不能观). 定理二: 如连续控制系统[A,B,C]状态能控(或能观) 则离散化后的系统其状态能控(或能观)的必要条件是 定理三对于单输入--单输出系统为充分必要条件. 6.7 数字控制器的设计 6.7.1 模拟化设计方法 模拟化设计方法的前提是当采样频率比系统的工作频 率高得多, 以致由采样和保持所引入的附加影响可忽略不 计. 从而系统中的离散部分可用连续控制器代替, 整个系 统可用连续系统的各种设计方法来确定模拟控制器, 再用 各种方法将模拟控制器的S传递函数离散化成数字控制器 的Z传递函数, 便于计算机进行数值计算. 下面仅介绍各种离散化方法中的一种, 即双线性变换 法, 也叫图斯汀变换法. 设经过模拟化设计后的控制器的 则上式对应的微分方程为: 将上式写成积分形式有: 由上图可见 是由k个梯形面积叠加而