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第5章 多自由度数值方法 运动方程的数值解法分为两类 激振力插值法 运动插值法 中心差分法 只能用于单自由度体系，因为从t时刻到t+1时刻是基于杜哈美积分的解 即适应单自由度体系，又适应多自由度体系。 5.1 中心差分法 一.中心差分法思想和步骤 （3）确定 ，并计算 计算步骤： 1.初始值计算 （1）计算 （2）确定 （4）计算 （5）计算 2.对每一时间分点t （1）计算t时刻的 （2）计算 时刻的位移 （3）根据需要计算t时刻的速度、加速度 二、 威尔逊 - 法 线加速度法假设： 威尔逊- 法假设： t t 当 两种方法一致 推导由t时刻的状态求 时刻的状态的递推公式： t t 对 积分 解出 代入 P(t) t t 整理，得 其中 因为y的两阶导式t和г的函数，所以关于г积分后还要再加关于t的函数 推导由t时刻的状态求 时刻的状态的递推公式： t t 对 积分 解出 代入 整理，得 其中 解出 解出 令 ，解出 推导由t时刻的状态求 时刻的状态的递推公式： t t 对 积分 解出 代入 整理，得 其中 解出 解出 令 ，解出 解题步骤 1.初始值计算 （1）求 （2）确定初始值 （3）确定 和积分步长，并计算积分常数 2.对每一时间分点 （1）计算 时刻的拟荷载 （4）确定拟刚度矩阵 （2）计算 时刻的位移 （3）计算 时刻的位移、速度、加速度 的取值： 当 时，该算法是无条件稳定的算法。 通常取 优化值为 若用某种算法计算结构的反应，无论时间步长与结构的最短周期的比值如何均可得到有界的结果，则称这种算法是无条件稳定的。反之，有界的结果只有在该比值满足一定条件才能得到，这样的算法是条件稳定的。 线加速度法是条件稳定的算法 中心差分法是条件稳定的算法 常加速度法是无条件稳定的算法 威尔逊 - 无条件稳定的算法 三、算法的稳定性和精度 （1）收敛性??随着时间步长的减少，数值解应逼近精确解； （2）稳定性??在存在数值舍入误差的情况下，数值解应是稳定的； （3）精度 ??数值方法应提供与精确解足够接近的结果。 对于数值方法，有三个重要的要求： 算法的精度可通过与无阻尼自由振动精确解的比较分析确定。 作业：用Wilson- 计算算结构的响应并和理论解比较 结构初始位移和速度为零，其他参数如下： m2 m1 理论解： 1）计算广义质量 例1.求各楼面最大位移。 m2 m1 解. 1）计算广义质量 2）计算广义荷载 3）计算 m2 m1 例1.求各楼面最大位移。 解. 5）计算 4）计算 m2 m1 例1.求各楼面最大位移。 解. 7）计算位移 6）计算 m2 m1 7）计算位移 其中，a 0 、 a1由试验确定。 通过实测获得两个振型阻尼比 和 。 同理 ---瑞利阻尼矩阵(Rayleigh) 用数值方法求解响应之前，先要求得阻尼矩阵： （带入上式，左右同时除以 ）