线性代数矩阵的加乘运算.pptVIP

2.2 矩阵的加法 数量乘法 乘法 2.2.1 矩阵的加法 2.2.2 数与矩阵的乘法 2.2.3 矩阵与矩阵的乘法 2.2.4 几种特殊类型的矩阵 2.2.5 方阵乘积的行列式 2.2.6 方阵的幂和方阵的多项式 2.2.1 矩阵的加法 2.2.2 数与矩阵的乘法 2.2.3 矩阵与矩阵相乘 复习 矩阵与矩阵相乘 思考题 思考题解答 １、定义 设有两个 矩阵 矩阵 与 的和记作 ，规定为 注意: 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如 2、 矩阵加法的运算规律 交换律 结合律 阵 1、定义 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 1.定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 图示如上 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. 例1 设 计算AB 解 矩阵,且 例 2 设A,B分别是 矩阵,且 计算AB和BA. 解: 例3 设 计算 AB, AC和BA 解 注意: 2、矩阵乘法不满足交换律，即 1、只有A的列数与B的行数相等时，AB才有意义. 阶数不同 且AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数 无意义 比如设 则有 3、两个不为零的矩阵的乘积可以是零矩阵。 从而 4、矩阵乘法不满足消去律，即 取 显然 例如 (见例3) 且 但 ２、矩阵乘法的运算规律 数 1.定义 并把此乘积记作 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 图示如上 2.2.4 几种特殊类型的矩阵 数量矩阵 上三角形矩阵 下三角形矩阵 结论: 两个上三角形矩阵的乘积仍为上三角形矩阵 两个下三角形矩阵的乘积仍为下三角形矩阵 . 用矩阵表示线性方程组 记 则线性方程组可以表示为矩阵形式 . 2.2.5 方阵乘积的行列式 定理2.1 设A,B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即 且: . 2.2.5 方阵乘积的行列式 定理2.1 设A,B是两个n阶矩阵,则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积,即 证明 设 则有 其中 因此 类似地 当将行列式中 全变为零时,得到 证毕 例5 设 计算 解: 将 中行列互换所得矩阵记为 (称为A的转置矩阵) ,即 由于 所以 因此 由于A的行列式 项的符号为正,所以 例6 设 A的伴随矩阵 其中 代数余子式. 证明: 当 时, 证 设 其中 于是 即 同理可得 所以 等式两边取行列式,有 若 则有 2.2.6 方阵的幂和方阵的多项式 定义2.9 设A是n阶矩阵,k个A的连乘积称为A的k次幂,记作 且当 为正整数时，有 但当 时， 当 时， .