线性代数一习题课(wan).pptVIP

第一章复习 1.1.2 矩阵的基本运算及性质 例 设 求 解 * * * 定义1.3 那么矩阵A与矩阵B的和记作A+B,规定为 对应元素相加 两个矩阵行数相等，列数也相等时，就称它们是 同型矩阵 一 矩阵的加减法 定义1.4 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 二 矩阵的数乘运算 定义1.5 并记作 三 矩阵的乘法 矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结 合律和分配律 (1) (2) (3) (4) 例 求AB和BA AB BA (1)AB与BA都有意义，且同型，但AB与BA不相等 (2)两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,即不满足消去率 定义1.6 把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个 新的矩阵，称之为A的转置(transpose)，记作 转置矩阵 行列对掉 例如： 运算律： 定义1.8 下面三种变换称为矩阵的初等变换: (1) 对换矩阵的两行(或两列); 以任意非零数λ乘以矩阵的某一行(列)的每 一个元素; 某一行(列)的每个元素乘以同一常数加到另 一行(列)的对应元素上去. 初等行变换 row 初等列变换 column 交换i, j两行 数乘第 i 行 数乘第 i行加到第 j 行 交换i, j两列 数乘第 i 列 数乘第 i 列加到第 j 列 定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵 仍是可逆阵. 定理1.4 可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单 位阵. 定理1.5 方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积. 例 求矩阵 的逆。 解 对于2阶方阵 定义其行列式|A|为 即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。 对于3阶方阵 定义其行列式|A|为 对角线法则 n 阶行列式的定义 行列式转置后，其值不变。 此性质表明 行与列是对等的，行具有的性质，列也有。 性质1.7 互换行列式的两行（列），行列式只改变符号。 推论1.1 如果行列式D有两行（列）相同，则D=0。 性质1.8 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 推论1.2 如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0 推论1.3 如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D=0 性质1.9 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。 性质1.10 行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零，即 性质1.11 总之，我们可以得到—— 把行列式的某 一行（列）的元素都乘 以同一个数后，加到另 一行（列）的对应元素 上去，行列式的值不变. 性质1.12 性质1.13 性质1.14 例： 如果线性方程组 的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解 1.3.4 行列式的应用 （一）克拉默法则 行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下的方阵 称为方阵A伴随矩阵. 伴随矩阵 （二）用行列式求逆矩阵 同理可证 定理1.9 设A为方阵。 若A可逆, 则 且 这个定理说明了： 1.如何判断一个方阵可逆？ 2.如何求这个方阵的逆矩阵？ 例 求方阵 的逆矩阵 解 求得 存在 逆矩阵应用 记 方程组的矩阵形式 Ax=b n个方程 n个未知数 如果A可逆，两端同时左乘 得到 唯一解 定义 设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主 对角线上有非零子块，其余子块都是零距 阵，且非零子块都是方阵，即 其中 都是方阵，称A为分块对角矩阵 定理1.10 * *