矩阵的对角化B.pptVIP

当 l1 = ?2时，对应的特征向量为： 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为： 于是 p1, p2, p3 构成正交阵：使得 实对称矩阵 定理： 实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量 必正交. 定理：设A是n 阶实对称矩阵, 则 A必可以对角化， 并且相应的可逆矩阵可以取为正交阵。 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P ?1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵 A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换． 称矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 相似的两个矩阵有些什么共同点呢？ 定理：设A,B为相似的n阶方阵，则有 若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，由于 A 和 B 的特征多项式相同, 故 A 和 B 的特征值也相同。 P11318,19. 作业：P1128(1),9(1). 例如： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 事实上， ，k为任意非零实数，均为对应于l = 1 的特征向量， 又因为： 则 l = -1 也为 的特征值， 为对应于l = -1 的特征向量. 事实上, ,k为任意非零实数，均为对应于l =-1 的特征向量。 定义：设 A 是 n 阶方阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． 特征值与特征向量的性质 设x是A的属于特征值l的特征向量，k是非零常数，则 性质1. kx也是A的对应于l 的特征向量. 设x1,x2是A的属于特征值l的特征向量,且x1+x210, 性质2. 则x1+x2也是A的对应于特征值l 的特征向量。 设x1,x2是A的属于特征值l的特征向量,且k1x1+k2x210, 性质2’. 则k1x1+k2x2也是A的对应于特征值l 的特征向量。 注意：数乘运算与加法运算均是针对同一个特征值的特征向量进行的。由于同一个特征值的特征向量对加法运算、数乘运算封闭，故它们构成一个空间，称之为特征子空间。 例如： l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 进一步有， , k为任意非零实数,均为对应于l = 1 的特征向量， l = -1 也为 的特征值， 为对应于l = -1 的特征向量. ，k为任意非零实数，均为对应于l =-1 的特征向量。 但是 不是任何特征值的特征向量。 设x 是A的属于特征值l的特征向量,k是任意常数,m为正整数， 问:kA,A-1,Am,A-m的特征值，特征向量分别是什么？ Ax= lx (kA)x= (kl )x kA的特征值为kl，特征向量仍然为 x ； Am的特征值为lm，特征向量仍然是x ； x= A-1lx l-1x=A-1x A-m的特征值为l-m，特征向量仍然是x。 A-1的特征值为l-1,特征向量仍然为x ； 即：A-1x=l-1x 设 l 是 A 的一个特征值， h 是对应的特征向量，即 Ah = lh． 性质3. 若 l 是 A 的一个特征值,设j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 则矩阵多项式 j (A) = a0 E + a1 A + … + am A m 的特征值是 j(l)，其中 E 是与 A 同阶的单位阵． 设 j(A) = A-1 +3A?2E，问j(A)的特征值为多少？ j (A) h = (A?1 +3A?2E ) h = (A?1)h +(3A)h ?2 (Eh) = l ?1 h +3l h ?2h = (l ?1 +3l ?2)h = j (l)h 故j (l) 是 j (A) 的特征值， h 是对应的特征向量． 例5.3. 设3 阶方阵 A 的特征值为1, ?1, 2，求 A2+3A?2E 的特征值． 解： A2 +3A?2E = j (A) ，令j (l) = l 2 +3l ?2，