电磁场与电磁波矢量与场论亥姆霍兹定理和矢量场分类.pptVIP

电磁场与电磁波Electromagnetic Fields and Waves 矢量与场论5 谢泽明 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: Email:eezmxie@scut.edu.cn Research Institute of RF Wireless Techniques South China University of Technology * Research Institute of RF Wireless Techniques School of Electronics and Information Engineering South China University of Technology * School of Electronics and Information Engineering –亥姆霍兹定理与三度运算公式 内容 散度和旋度的意义 亥姆霍兹定理 矢量场分类 ?算子的运算规则 重要的恒等式 矢径的“三度”计算 各种场的讨论 矢量场的旋度和散度的意义 矢量场的旋度是矢量函数；矢量场的散度是标量函数。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场由它的散度和旋度确定（因为源已经确定） 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场(或保守场)。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场(或管形场)。 旋度表示是 的各个分量沿着与它们相垂直的方向上的变化规律。 散度表示是 的场分量沿各自方向上的变化规律。 【Helmholtz定理】 对于任意矢量场 ，有 证明略。 可以得到几点结论： 在无界空间，若矢量场有界且正则（场值至少按1/r衰减，且其源密度至少按1/r2衰减），则矢量场由它的散度和旋度唯一确定。 在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。 矢量场可以分解为无散场与无旋场组合。 对应旋涡源， 对应通量源，所以Helmholtz定理也告诉我们，矢量场是由其旋涡源和通量源产生的。 电磁场的散度和旋度为电磁场的基本方程，使我们研究的重点（麦克斯韦方程组） 矢量场的分类 在有界空间，矢量场由它的散度、旋度及其边界条件唯一确定。 矢量场的分类按照场有无散度、旋度分类： 无旋有散场 有旋无散场 无旋无散场 有旋有散场 ?算子的运算规则 在直角坐标系下 梯度 散度 旋度 可以看出，?算子具有矢量与微分算子的双重特性，这是构成?算子运算规则的基础。 为了便于计算，定义 显然 下面通过例题说明?算子的运算规则。 【例】证明 证明：应用乘积函数的微分运算规则 应用矢量恒等式： （k为常数） 有 可以应用?算子直角坐标公式，验证上式的正确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明了?算子与坐标无关。 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常数，待运算结束后，再去除下标c。 【例】证明 证明：应用乘积函数的微分运算规则 应用矢量恒等式： 于是 运算规则2：运算中，常数矢量要始终在?算子的左侧，函数矢量要始终在?算子的右侧。 去掉下标c后得证。 几个重要的矢量公式 式中： ?2为Laplacian算子，在直角坐标系下 【例4-5】证明 矢径的“三度”计算 在电磁理论中，大量遇到矢径 的“三度”计算问题。 设 表示源点， 表示场点， 则称为矢径。 应用球坐标系，最为简单。 矢径的性质 泊松方程 无旋有散场（位场，有势场） 矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为域内V的无旋有散场。 由 其中，u为 的标量位函数，ρ是 的标量源函数（散度源或通量源） 根据ρ的分布，由泊松方程求出u，继而求出 。 各种场的特点 根据斯托克斯定理，无旋场是保守场(即无旋场量的线积分与路径无关，或者该场量沿任意闭路c的环量为0)，也即对任意闭路 在矢量分析中，无旋场、梯度场和保守场是等价的。 矢量位函数 有旋无散场（管形场） 矢量场 在区域V内处处有 则矢量场 称为Ｖ域内的有旋无散场。 由 在许多场问题中， 是为了由旋度源 求 而引入的辅助计算量，故令 ，则有 称为矢量位 的矢量泊松方程。 恒定磁场的矢量磁位与产生磁场的场源——电流源之间满足的就是矢量泊松方程。 无散场也称为管形场，因为通量在由矢量线形成的同一个矢量管中的所有截面上都是相等的。 矢量管 S1 S2 Ss 无旋无散场(调和