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第五节 点集间的距离 点集间的距离定义 定理：设A为非空有界闭集 ， x∈Rn ，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A) 定理1：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d(x,y)=d(A,B) 例2：设F1， F2为Rn中两个互不相交的非空闭集，则存在Rn 上的连续函数f(x) ，使得 （1）0≤ f(x)≤ 1， x∈ Rn （2） f(x)=0， x∈ F1; f(x)=1, x∈ F2 * 第二章 n 维空间中的点集 b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立， 如A=(-1,0), B=(0,1). 注：a.若x∈ B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1) 证明：利用d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) z∈ E 例1 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的 一致连续函数 所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。 可得d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E)， 同理d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E), 故有|d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y) 闭集：与E紧挨的点 不跑到E外，也即E外 的点与E不可能紧挨 又Ａ为闭集，故y∈A,对 两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A) 证明：由 可得 由于A有界，故 证明：由 A B 又B为闭集，故y∈B, 另外对 两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B) 又A为闭集，从而x∈A ，并可得{yni }有界 因为当ni充分大时， d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ） F2 F1 例3. 每个闭集必是可数个开集的交， 每个开集必是可数个闭集的并 证明：设E为闭集，取 则Gn为开集， 1 n * *