次课方程组的解.pptVIP

第二章 矩阵理论基础 §2.4 矩阵的秩与矩阵的等价标准形 §2.3 可逆矩阵 §2.2 n阶(方阵的)行列式 §2.1 矩阵的运算 §2.5 分块矩阵 §2.6 线性方程组解的存在性定理·Cramer法则 §2.6 线性方程组解的存在性 定理·Cramer法则 在第一章中，我们学习了如何求解线性方程组。 通过回顾再结合本章知识，给出线性方程组解的 存在性定理。 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵只用行变换化阶梯形 最后一行对应的方程是：0 = 2 ,所以无解。 思考： 复习 解方程组 第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,如果 ,则无解.如果 ,则继续化为最简阶梯形。 问:此时 其含义是 独立(或有效)方程的个数。 以下问题针对 的一般方程组来回答。 复习 第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。 问：自由变量的个数 = 即未知数的个数减去独立方程的个数。 问：何时有唯一解？何时有无穷多解？ 当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当 时，有无穷多解，当 时有唯一解。 第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。 令 ，得通解 即 ( 取任意实数) 综合例1和例2，对于方程组 由以上三条又得 对于非齐次方程组 定理2.6.1 对于齐次方程组 非齐次方程组解的判别定理 定理2.6.2 齐次方程组解的判别定理 例1 时， 有无穷多解。 ， 时， 无解。 ， 时， 有无穷多解。 问 a , b 为何值时, 方程组有解, 无解。 解 ： 例2 问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求通解。 a = 0 时，r(A)4, 有非零解。同解方程组为 解： 令 得通解 当 a≠0 时， 当 a = －10 时，r(A) = 34,有非零解。 同解方程组为 令 得解 设 的线性方程组 的系数行列式 定理2.6.3 Cramer法则 则方程组有唯 一解,且解为: 证明P.77 对于齐次方程组 系数行列式 方程组只有零解 或者说： 方程组有非零解 定理2.6.4 易由定理2.6.2得证。 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则，它有唯一解。 解线性方程组 例3 同理可得 故方程组的解为: 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解 系数行列式 按第3行展开 结论… 例4 再解例2： 方法二 (显然对 a = 0 也成立) 当 a = 0 或 a = －10时有非零解。其它同前。 例5 解：系数矩阵是方阵首选行列式法 问 为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解。有无穷多解时，求通解。 分析：当 时有唯一解，当 时，此时系数矩阵中的参数已确定，方程组可能无解，也可能有无穷多解，这取决于右端项。再用初等行变换法加以判别。 当 时，方程组有唯一解。 当 时 当 时， ，方程组无解。 当 时， ，方程组有无穷多解。 通解为