概率论和数理统计随机变量及其分布.pptVIP

* §1.2 随机变量及其分布 一、一维随机变量及其分布函数 二、多维随机变量及其分布函数 * 注: (1)分布函数是一种单调不减、实值、有界的普通函数 (2)对于任意实数 为一个定义域为R、值域为[0，1]的函数，称之为随机变量X的分布函数 P{ X≤x }= F(x) ▲ 设X为一随机变量,则对每一个实数x，{X≤x}都是一个随机事件，进而 (3)分布函数的定义 * (1)、定义: 如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量, 又设X的可能取值是 x1,x2,…,xk,…，若有 P{X=xk} = pk , k=1,2,… 称此通式为X 的概率分布，也称分布律. 表格法如下： pk p1 p2 … pn … X x1 x2 … xn … (2)、性质： 1． pk≥0，（k=1,2,…） 2．∑pk = 1. 2、离散型随机变量及其分布律 一个阶梯函数 (3)、离散型的分布函数 * 例2 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律、分布函数及事件“至少抽得一件次品”的概率。 解： X的可能取值为 0，1，2； =P{抽得的两件全为正品} P{X=0} P{X=1}= P{X=2}= 故 X的分布律为 例1中随机变量的分布函数为 （4）几种常见的重要分布: * 1-p p pk 0 1 X 则称X服从参数为p 的 (0-1)分布或二点分布,记为 X～(0-1)分布 背景：样本空间只有两个样本点的情况； 定义： 若随机变量X的分布律为: 10 、0-1分布 (二点分布): 如： “抛硬币一次,X表示正面朝上的次数”; “检验一件产品是否合格,X表示合格品的件数” 2、二项分布: 定义：若随机变量X的分布律为: * 其中0 p 1, 则称X服从参数为n,p的二项分布、记为 X～b(n,p). 解：依题意，有放回地抽取5件,可视为5重贝努利实验 记X为共抽到的次品数，则 所求为 P{X=2} 例3 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5件,每次抽一件,求恰好抽到两件次品的概率. A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, p=1/4; 3、泊松分布: 定义：若随机变量的分布律为: * 其中? 0, 则称X服从参数为?的泊松分布，记为 X～P(?). 注：10它是二项分布的极限形式！实际应用中：当n≥20, p≤0.05时，即可用近似公式 20有Poisson分布表可查用. 其中?=np. 30实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的。某服务台在某时间段内接待的服务次数X； 某地区在某时间段内出现故障的次数Y;… … * 例4 某公共汽车站单位时间内的候车人数服从参数?＝8的泊松分布，求该公共汽车站单位时间内候车人数小于5的概率. 解 记该车站单位时间内的候车人数为X,则由题知 X~P(8) 查附表1知 * (1)、数学定义：若存在非负函数 f(x), 使随机变量X的分布函数恰为 则称X为连续型随机变量， 称为X 的概率密度。 (2)、f (x)的性质 3、连续型随机变量及其概率分布 * 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 若x是 f(x)的连续点，则： =f(x) 对 f (x)的进一步理解: 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a 附近的值的概率就越大. * 定义：若连续型R.v.X的概率密度为 (3)、几种常见的连续型分布 10、均匀分布 则称X服从区间 (a, b)上的均匀分布。 背景: 当X的取值落在区间(a, b)中任意 分布函数 在区间(a, b)之外的概率为0的情况。 * 例5 102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。 X～（0，5）上的均匀分布 分析： 若记该乘客的候车时间为X ，则 因此X的概率密度 所求为？ P{X≤2}=F(2) * 20、指数分布 定义 若连续型随机变量X的概率密度为 背景: 可靠性理论、排队论中 分布函数 * 例6、设某仪器的使用寿命X（单位：万小时）服从参数为 1/15 的指