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4.5 标准正交基与正交矩阵 黄凤英 第*页 共94页 4.5 标准正交基与正交矩阵 黄凤英 信息科学与计算学院 内积的定义 主要内容 内积的性质 向量的长度和夹角 正交向量组的性质 正交基与规范正交基 正交矩阵 正交变换 定义1 设有 n 维向量 令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积. 一、内积的定义 内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数 阵记号表示. x 与 y 都是列向量，有 [x, y] = xTy = yTx . 这种运算也可用矩 例如： （1） [x, y] = [y, x]; （2） [?x, y] = ?[x, y]; （3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z]; （4） [x, x] ≥ 0, 且当 x ? 0 时有 [x, x] 0. 下列性质： 二、内积的性质 设 x, y, z 为 n 维向量，? 为实数，则内积有 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 度和夹角. 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n ( x1, x2, x3 ) · (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 且在直角坐标系中，有 x · y = |x| |y| cos? , 三、向量的长度和夹角 1. 长度的定义 定义2 令 || x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ). 当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量. (1) 非负性 当 x ? 0 时, || x || 0; 当 x = 0 时, || x || = 0. (2) 齐次性 || ?x || = |?| || x || ; (3) 三角不等式 || x + y || ≤ || x || + || y ||. 是一个单位向量，称这 当 x ? 0 时， 一运算为将向量x标准化或单位化。 向量的长度具有下列性质: 2. 长度的性质 例如：单位化x 3. 向量的夹角 向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] , 由此可得 (当 || x || || y || ? 0 时), 令 于是有下面的定义: 定义 当 || x || ? 0, || y || ? 0 时, 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 量正交. x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若 讲解书例1 1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , ··· , am两两正交,即 [ai , aj]=aiTaj=0 (i?j; i,j=1,2,….m) 两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , ··· , am线性无关. 定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , ··· , am是一组 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 四、正交向量组的性质 称此正交向量组为单位正交向量组。 1. 定义 设 a1 , a2 , ··· , an 是 a2 , ··· , an 是 Rn 的一个标准正交基. 如果 a1 , a2 , ··· , an 为单位正交向量组，则称 a1, 五、正交基与标准正交基 Rn 的一个基 2. 标准正交基的求法 设 a1 , a2 , ··· , ar 是向量空间 V 的一个基, 要 正交化: 我们可以用以下方法把 a1 , a2 , ··· , ar 规范 ··· , ar 这个基标准正交化. a1 , a2 , ··· , ar 等价. 这样一个问题, 称为把 a1 , a2 , 正交的单位向量 1 , 2 , ··· , r , 使 1 , 2 , ··· , r 与 求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两 x x x x x x 取 b1 = a1