极限存在法则两重要极限.pptVIP

XT * 数学分析（上） * 南京通网科技发展有限公司 第五节 极限存在准则 两个重要极限 准则 I (夹逼准则) 如果 ， 及 满足下列条件： （1） （2） 则数列 的极限存在, 且 准则 I′(函数的夹逼准则) 如果 （1）当 时 ,有 （2） 则 存在, 且 例如 求 ＝2 两个重要极限 （１） 即 因为 所以 　即 因而 证 因为　　 是偶函数，所以只讨论 x＞0． 当 时,　有 例5 求 . 解 例6 求 . 解 例7 求 . = －1 数列 单调增加 ,若 单调减少 ,若 准则Ⅱ(单调有界收敛准则)单调有界数列必有极限. 几何解释: 确界与确界存在定理 定义 对于数集A，若数 s 满足： 则称 s 是A的上确界(或最小上界). 记作 supA. 注 ①上确界就是最小的上界。 　 ②上确界与最大值的区别:最大值必须含于数集中。若A有最大值, 则它就是A的上确界。反之未必。 ③ 上确界若存在，则必唯一. 确界存在定理 任一非空有上界的数集必有上确界. ④ 下确界记为 inf A. 下 下 注:①单调递增有上界的数列,其极限就是数列的上确界. ②若数集A没有上界, 则规定supA=+∞. 下 infA=－∞. ③确界存在定理仅对实数集成立。 例8 证 (舍去) 例9 设数列 自己做：求 证明 存在, 并求之. 例 10 证明 存在. 先证数列单调增: 设 , 则 所以 比较得: , 即 为单调递增数列. 又注意到: 所以 为单调递增有界数列. 存在. 下面证明: 例如 求 例 已知 求 又如 求 = ln2 因为 所以 例10 解 例11 解 解： 例12 求 准则Ⅱ’(单调函数的极限)设 f 定义在[a，b]上单调，则 对任一点xO∈（a，b）都存在左、右极限。在a处存在右 极限，在b处存在左极限。 定义 （区间套）设有一闭区间列 { [an，bn] }满足： (1) [a1，b1] [a2, b2] … [an, bn] …; (2) (an – bn) = 0. 则称{ [an, bn] } 是一个区间套. 注: (1) 式即为 a1≤a2≤ ≤ an≤bn≤ ≤b2≤b1. 闭区间套定理 任何闭区间套 { [an, bn] }必有唯一的公共点. 证：利用单调有界原理来证明闭区间套定理 定理 (Bolzano – Weierstrass定理或致密性定理) 有界数列必有收敛子数列. 注: (1) 该定理在有理数集中不成立. 如 1 1.4 1.41 1.414 1.415 1.42 1.5 2 ( ( ( ( ) ) ) ) (2) 区间套的各个区间必须是闭区间. 如 证：利用闭区间套定理来证明 定义（Cauchy基本数列） 若对于 使得 恒有 则称数列 满足Cauchy 条件.该数列又称为Cauchy 基本数列. 性质：基本数列必为有界数列。 , 对于 恒有 准则Ⅲ (Cauchy 收敛准则) Cauchy 收敛原理的等价命题: , 当 时 , 对于 恒有 证：利用致密性定理来证明