杨辉三角及项式系数的性质.pptVIP

* 例2 知识要点3 1.3.2(1) 一般地，对于n N*有 二项定理: 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 杨辉三角 《九章算术》 杨辉 《详解九章算法》中记载的表 杨辉三角 1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角 点击图片可以演示“杨辉三角”课件 杨辉三角 第5行 1 5 5 1 第0行 1 杨辉三角 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 1 第6行 1 6 15 6 1 第n-1行 1 1 第n行 1 1 …… …… … … … … …… … … 15 15=5+10 20 20=10+10 10=6+4 10 10=6+4 10 6 6=3+3 4=1+3 4 1 2 5 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第1行 1 1 第0行 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… 1 3 8 13 21 34 如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 这就是著名的 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的. 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点． 二项式系数的性质 2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时， 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时