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(2). 由 定 理 1 近似服从N ( 0, 1 ) §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 只要: 查表得: 解得: 结论: 441 个数相加时可使误差总和的绝对值小于10 的概率大于0. 9 所以要 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 * * * * * * * 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 §2 中心极限定理 例1.掷骰子，出现每一点的概率为 ，在投掷的次数少时，出现每一点的频率可能与 相差很大，但在投掷的次数很多时，出现某点的频率就接近 . 例2.测量一个长度为a的物体，一次测量不一定等于a，测量若干次，其算术平均值也不一定等于a，但当测量的次数很多时，算术平均值接近a是几乎必然的. §1 大数定律 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 例3.小概率事件在一次实验中出现的可能性很小，只有在大量重复实验中才能保证这一小概率事件的出现. 在大量的重复实验中， 例1说明了频率的稳定性； 例2说明了平均结果的稳定性； 例3说明了小概率事件终究是要发生的. 不论个别随机现象的结果如何，大量随机现象的平均结果几乎不再是随机的了. §1 大数定律 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定义1 若对任意 一、定义 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理1 定理2 （切比雪夫大数定律） 且具有相同的数学 期望及方差， §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比雪夫不等式得： 证： §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理3（贝努里大数定律）(Bernoulli大数定律) 证：令 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 该定理给出了频率的稳定性的严格的数学意义。 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理4（辛钦大数定律） 且具有数学期望 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 算得 例1 设 为独立随机序列, 证明 服从大数定律. 且 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比雪夫不等式知 有 即 服从大数定律. P 故 例1 设 为独立随机序列, 证明 服从大数定律. 且 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 独立同分布. 独立同分布. 由辛钦大数定律 又 P 例2 根据辛钦大数定律有 依概率收敛于? 设 为独立同分布的随机序列, 且 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理1 （独立同分布的中心极限定理） §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 §2 中心极限定理 定理2 （李雅普诺夫定理） (Liapunov定理) 则 服从中心极限定理，即： §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理1有结论成立。 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (De Moivre--Laplace) 证明：由二项分布和两点分布的关系知 其中 相互独立且都服从于两点分布，且 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 这时 棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理 例1 一加法器同时收到20个噪声电压， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例3 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1。系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。 解： 由德莫佛-拉普拉斯定理有 则 X~B(100,0.1)。 则整个系统能正常工作当且仅当 设X是损坏的部件数， §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 例5. 在人寿保险公司里，有16000名同一年龄的人参加人寿保险。一年里这些人的死亡率为0.1%；参加保险的人在一年的第一天交付保险费3元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。 求: (1). 保险公司因开展这项业务获利不少于10000 元的概率 (2). 保险公司因开展这项业务亏本的概率 解: 由题意，死亡人数 这里， §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 保险公司一年内这项保险收入是： 获利不少于10000元，即赔偿不大于38000(元)， 即一 年内至多有