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大学高数一节无穷小
例13 设 为n次多项式, 且 则 注意: 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小. 定理1.7 无穷小与有界函数的乘积为无穷小. 都是无穷小. 例如, 当 例14 证明 推论1.1 有限个无穷小的乘积是无穷小. 1.1.6 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义1.5 设 在点a 的某个空心邻域内有定义, 都存在点a 的空心邻域 若 记作 或 则称 时为无穷大, 分别称为正无穷大和负无穷大; 说明: 1. 如果把上面定义中的 分别改为 就得到 的定义, (1) 两个正(负)无穷大之和仍为正(负)无穷大; (2) 有界变量与无穷大的和、差仍为无穷大; (3) 恒不为零的非无穷小(或无穷大)与无穷大 2. 由无穷大的定义容易证明: 之积仍为无穷大. 无穷大与无穷小的关系 则当 时, 有 设 在a 的某空心邻域内有定义, 意义:有关无穷大的讨论, 都可归结为无穷小的讨论. 使得 定理1.8 设 在点a 的某个空心邻域内有 常数 定义. 如果当 时, 且存在 例15 证明 证2 不妨设 因 于是 先证明 所以 故 例16 证明 在 内无界, 但当 不是无穷大. 证 显然 所以 在 内无界; 所以 不是无穷大. 1.1.7 本节要点 主要结论包括三个最基本的无穷小和一个关 于无穷小的比较定理. 本节我们用比较直接的形式介绍了无穷小的概念, 且在点a 的某个空心邻域内 4. 如果 成立, 本书中有关极限的其它大多数结论都可以由 这四个基本事实推导出来, 请在学习过程中注意 体会. 其中 为常数. 北京工业大学 高 等 数 学 第一章 无穷小与极限 1.1 无穷小 1.1.1 数列无穷小 1. 数列的定义 数列是指定义在正整数集上的函数 依按自变量增大的次序, 数列的对应值可以排成 称为数列的通项(或一般项), 数列简记为 例如, 数列 简记为 简记为 简记为 简记为 数列中的每个数称为数列的一项, 2. 数列的几何表示法 数列中的每一个数都可用数轴上的一个点 来表示, 这些点的全体就是数列. 称为n 趋于无穷大, 3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程: n的主动变化: 不断增大( 每次加1 ). 即n 从1开始, 一定可以大于每个固定的正数. 记为 何为无限增大? 即 与0 的距离可以 如果 可以小于任意给定的正数. 那么 就无限接近于0. 任意小, 概述为: 无论给定一个多么小的正数 都可以有 只要 即可. 数列 是无穷小. 此时我们称当n 无限增大时, 何为无限接近于0? 定义1.1 (数列无穷小) 如果对于任意给定的正数 都存在正整数N, 使得当 时, 不等式 成立, 记为 或 则称数列 是无穷小. 设 为数列, 几何解释: 只有有限个 (至多有N 个)落在其外. 定义: 定理1.1 (无穷小比较定理1) 设 为无穷小, 则 也是无穷小. 使得对于所有正整数 n, 如果存在正数 C, 例1 证明: 如果 则 为无穷小. 例2 证明下列数列都是无穷小: 且 例3 设 则数列 不是 无穷小. 注: 1.1.2 时函数无穷小 我们用 表示 x 无限增大的过程, 只要 . x 可以大于任意给定的正数. 不妨设 任意给定的正数 我们称 时, 是无穷小. 可以小于 什么叫无限增大? 则 定义1.2 ( 时函数无穷小) 如果对于任意给定的正数 总存在正数 X, 当 时, 有 记为 或 设 在 有定义, c 为常数 . 则称当 时, 为无穷小. 如果 则称当 时, 为无穷小, 记为 记为 如果当 都是无穷小, 则称当 时, 是无穷小, 的几何意义: 完全落在带形区域 内. 函数 的图形 有
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