向量数量积的运算律(人教B版必修).pptVIP

2．3.2　向量数量积的运算律 平面向量数量积的运算律 ①a·b＝ (交换律)； ②(λa)·b＝ (结合律)； ③(a＋b)·c＝ (分配律)． 重点：数量积的运算律及其应用． 难点：数量积运算律的证明、应用及向量运算和数量运算的联系与区别． 对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但对向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)未必成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)未必成立．即向量数量积不满足结合律． [例1]　已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，求|a－b|. [分析]　利用公式|a|2＝a·a. [解析]　由|a＋b|2＝(a＋b)2， 可得a2＋2a·b＋b2＝576， ∴169＋2a·b＋361＝576， ∴2a·b＝46. ∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝169－46＋361＝484， ∴|a－b|＝22. [答案]　A [例2]　已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a，b. [例3]　已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？ [分析]　可利用c⊥d?c·d＝0构造方程求m. [点评]　向量的垂直问题主要借助于垂直的等价条件a⊥b?a·b＝0解决． (2010·山东莱州市高一下学期期末测试)设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a＝－(2e1＋e2)，b＝e1－λe2 (1)若a∥b，求λ的值； (2)若a⊥b，求λ的值． (2)∵a⊥b，∴a·b＝0， ∴－(2e1＋e2)·(e1－λe2)＝0. ∴－2e＋2λe1·e2－e1·e2＋λe＝0， ∴－2＋λ＝0，∴λ＝2. [分析]　四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量． [解析]　四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2. 由于a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2② 由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|即四边形ABCD两组对边分别相等． ∴四边形ABCD是平行四边形． 另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0 即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC. 综上所述，四边形ABCD是矩形． [例5]　设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． [辨析]　若a与b夹角为钝角，有a·b0，但a·b0时，包括a与b夹角为180°，故若a与b夹角为钝角，有a·b0且扣除a与b夹角为180°时，t的取值． [答案]　B [答案]　D 3．已知|a|＝|b|＝1，a⊥b，(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k等于 (　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 [答案]　B [解析]　(2a＋3b)·(ka－4b)＝0， 2k|a|2－8a·b＋3ka·b－12|b|2＝0. ∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0， ∴2k－12＝0，k＝6. 二、填空题 4．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|≤|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|b|2－4|b|2.其中正确的有______． [答案]　②④ [解析]　①错因为向量数量积不满足结合律；③错，因为[(b·c)a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c) ＝0， ∴垂直． 5．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b＝a·c，则b＝c. ②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3. ③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案]　② ③非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则三向量a、b、a－b构成正三角形如图． 由向量加法的平行四边形法则知，a＋b平分∠BAC， ∴a＋b与a夹角为30°，③错． 第二章 平面向量 人教 B 版数学 b·a λ(a·b)＝a(λb) a·c＋b·c * * 第二章 平面向量 人