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* * 第六章 系统稳态误差及稳定性分析 第一节 系统稳态误差的分析和计算 2008.11.3 系统的误差 e (t) 与偏差ε(t) 当E(s)≠0时， ε(s)就试图把Xo(s)拉回到Xor(s) 稳态误差：系统进入稳态后实际输出量与期望输出量之差。它反映系统跟踪控制信号或者抑制干扰信号的能力，是评价系统稳态性能的重要指标。 稳态误差不但与系统本身结构和参数有关，而且与输入信号的类型有关。 e (t)=xor(t)-xo(t) 拉氏变换 E(s)=Xor(s)-Xo(s) 误差 偏差 ε(t)=xi(t)-h(t)*xo(t) 拉氏变换 ε(s)=Xi(s)-H(s)·Xo(s) 当E(s)=0时，ε(s)=0 它们之间的关系如下图所示 当E(s)=0时，ε(s)= Xi(s) - H(s) ·Xo(s) = Xi(s) - H(s) ·Xor(s) =0 ∴ Xor(s)= Xi(s) / H(s) E(s)=Xor(s)-Xo(s) ε(s)=Xi(s)-H(s)·Xo(s) { E(s)= ε(s) / H(s) — 误差与偏差的关系式 单位反馈时， E(s) =ε(s) Xor(s) + Xi(s) ε(s) M(s) G(s) H(s) E(s) Xo(s) + - - 稳态误差的计算 稳态误差与系统的结构和参数即系统的型号有关。系统的型号是按照系统的开环传递函数的形式来确定的。 开环传递函数 Xi(s) ε(s) G(s) H(s) Xo(s) + - F(s) = G(s) H(s) 系统的型号 G(s)H(s)= A1(s) 和 B1(s) 分别为常数项为1的s的多项式 设分母多项式最后一项为 K为系统的开环总增益 g 为开环传递函数所含积分环节 1/s 的个数 根据 g 的值来划分系统的型号。 当g=0时，开环传递函数不含积分环节，系统称为0型系统 当g=1时，开环传递函数系统含有一个积分环节，对应的闭环系统称为I型系统 G(s)H(s) = 当g=2时，开环传递函数系统含有二个积分环节，系统称为II型系统 G(s)H(s) = 其余依此类推 一般来说，系统的型号愈高，系统愈不容易稳定，实际中一般只用到Ⅱ型。 例1 二阶振荡系统的框图如下图所示。判别该系统的阶次和型号 Xi(s) Xo(s) + - 解 而该系统的阶次为 二阶系统 其开环传递函数为 GK(s)= G(s)H(s) = 注意区分系统的型号和系统的阶次 例2 Xi(s) Xo(s) + - 确定下面系统的型号和系统的开环总增益 K GK(s) = G(s)H(s) = 解 · = 稳态偏差的计算 稳态偏差ess 系统进入稳态后的偏差 ess= Xi(s) ε(s) G(s) H(s) Xo(s) + - F(s) ess= — 系统稳态偏差计算公式 稳态误差的计算 ess= 当 H(s) =1时，ess= ess 当 H(s)≠1时， ess= — 系统稳态误差计算公式 典型信号作用下的稳态偏差 输入量为单位阶跃信号1(t) ess= ess= = { g = 0 时，即0型系统 g ≥1时，即Ⅰ型以上系统 输入量为单位恒速信号 t ess= = { ∞ 1/K 0 g = 0 时 g = 1 时 g ≥2 时 输入量为单位恒加速信号 t2/2 ess= = { ∞ 1/K ∞ g = 0 时 g = 1 时 g = 2 时 0 0 Ⅱ型 ∞ 0 Ⅰ型 ∞ ∞ 0 型 单位恒加速 t2/2 单位恒速 t 单位阶跃1(t) 输入信号 系统型号 系统稳态偏差ess (P81) Xi(s) Xo(s) + - 例3 求图示系统当输入信号 xi(t)=t 时稳态误差ess和稳态偏差ess 解 ess= 按公式求解 =0 ess= 根据表求解 GK(s)=G(s)H(s)= Ⅱ型系统对单位恒速信号 ess=ess= 0 ess= 0 例4 已知系统为单位负反馈系统, GK(s)= 求系统的开环增益K、型号,当输入信号 xi(t)=t 时的稳态误差ess和稳态偏差ess 解 K=20 Ⅰ型系统 ess=ess=1/K=0.05 GK(s)= 例5 已知温度计的 ，用来测量容器内的水温，2min后才能显示出该温度的98%的数值。如给容器加热，使水温依10°C/min匀速上升。问该温度计的稳态指示误差ess是多少。 4T=2 T=0.5min xi(t)=10t Xi(s)=10/s2 ess= e (t)=xor(t)-xo(t)= xi(t)-xo(t) = 5°C 解